5人の生徒の読書時間 $x$ とテレビの視聴時間 $y$ が与えられており、相関係数を求めるために必要な表を完成させ、共分散、分散、標準偏差、相関係数 $r$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

5人の生徒の読書時間 $x$ とテレビの視聴時間 $y$ が与えられており、相関係数を求めるために必要な表を完成させ、共分散、分散、標準偏差、相関係数 $r$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

(1) 表の完成

まず、各生徒の $x$ の偏差と $y$ の偏差を計算します。$x$ の平均は $20/5 = 4$、 $y$ の平均は $30/5 = 6$ です。

* 生徒A: $x$ の偏差 = $4 - 4 = 0$, $y$ の偏差 = $11 - 6 = 5$

* 生徒B: $x$ の偏差 = $7 - 4 = 3$, $y$ の偏差 = $5 - 6 = -1$

* 生徒C: $x$ の偏差 = $1 - 4 = -3$, $y$ の偏差 = $17 - 6 = 11$

* 生徒D: $x$ の偏差 = $3 - 4 = -1$, $y$ の偏差 = $8 - 6 = 2$

* 生徒E: $x$ の偏差 = $5 - 4 = 1$, $y$ の偏差 = $9 - 6 = 3$

次に、$(x \text{の偏差})^2$ と $(y \text{の偏差})^2$ を計算します。

* 生徒A: $(x \text{の偏差})^2 = 0^2 = 0$, $(y \text{の偏差})^2 = 5^2 = 25$

* 生徒B: $(x \text{の偏差})^2 = 3^2 = 9$, $(y \text{の偏差})^2 = (-1)^2 = 1$

* 生徒C: $(x \text{の偏差})^2 = (-3)^2 = 9$, $(y \text{の偏差})^2 = 11^2 = 121$

* 生徒D: $(x \text{の偏差})^2 = (-1)^2 = 1$, $(y \text{の偏差})^2 = 2^2 = 4$

* 生徒E: $(x \text{の偏差})^2 = 1^2 = 1$, $(y \text{の偏差})^2 = 3^2 = 9$

最後に、偏差の積を計算します。

* 生徒A: $(x \text{の偏差}) \times (y \text{の偏差}) = 0 \times 5 = 0$

* 生徒B: $(x \text{の偏差}) \times (y \text{の偏差}) = 3 \times (-1) = -3$

* 生徒C: $(x \text{の偏差}) \times (y \text{の偏差}) = -3 \times 11 = -33$

* 生徒D: $(x \text{の偏差}) \times (y \text{の偏差}) = -1 \times 2 = -2$

* 生徒E: $(x \text{の偏差}) \times (y \text{の偏差}) = 1 \times 3 = 3$

表を完成させると以下のようになります。

| 生徒 | $x$ | $y$ | $x$ の偏差 | $y$ の偏差 | $(x \text{の偏差})^2$ | $(y \text{の偏差})^2$ | 偏差の積 |

|---|---|---|---|---|---|---|---|

| A | 4 | 11 | 0 | 5 | 0 | 25 | 0 |

| B | 7 | 5 | 3 | -1 | 9 | 1 | -3 |

| C | 1 | 17 | -3 | 11 | 9 | 121 | -33 |

| D | 3 | 8 | -1 | 2 | 1 | 4 | -2 |

| E | 5 | 9 | 1 | 3 | 1 | 9 | 3 |

| 計 | 20 | 50 | 0 | 20 | 20 | 160 | -35 |

(2) 共分散の計算

共分散は、偏差の積の平均です。

$\text{共分散} = \frac{\sum (x \text{の偏差}) \times (y \text{の偏差})}{n} = \frac{-35}{5} = -7$

(3) 分散と標準偏差の計算

$x$ の分散 = $\frac{\sum (x \text{の偏差})^2}{n} = \frac{20}{5} = 4$

$x$ の標準偏差 = $\sqrt{x \text{の分散}} = \sqrt{4} = 2$

$y$ の分散 = $\frac{\sum (y \text{の偏差})^2}{n} = \frac{160}{5} = 32$

$y$ の標準偏差 = $\sqrt{y \text{の分散}} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$

(4) 相関係数の計算

相関係数 $r$ は、共分散を $x$ と $y$ の標準偏差の積で割ったものです。

$r = \frac{\text{共分散}}{x \text{の標準偏差} \times y \text{の標準偏差}} = \frac{-7}{2 \times 4\sqrt{2}} = \frac{-7}{8\sqrt{2}} = \frac{-7\sqrt{2}}{16} \approx -0.619$

3. 最終的な答え

* 完成した表は上記参照。

* $x$ と $y$ の共分散: $-7$

* $x$ の分散: $4$

* $x$ の標準偏差: $2$

* $y$ の分散: $32$

* $y$ の標準偏差: $4\sqrt{2}$

* 相関係数 $r$: $-\frac{7\sqrt{2}}{16} \approx -0.619$