問題は、与えられた曲線と$x$軸、直線で囲まれた部分の面積を求めることです。 (1) $y = x^2 - x - 2$ の場合と (2) $y = -x^2 + 3x$ ($ -1 \le x \le 2 $), $x = -1$, $x = 2$ の場合の2つの問題を解きます。

1. 問題の内容

問題は、与えられた曲線と$x$軸、直線で囲まれた部分の面積を求めることです。

(1) $y = x^2 - x - 2$ の場合と

(2) $y = -x^2 + 3x$ ($-1 \le x \le 2$), $x = -1$, $x = 2$ の場合の2つの問題を解きます。

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 - x - 2$ の場合

まず、$y=0$となる$x$軸との交点を求めます。

$x^2 - x - 2 = 0$

$(x - 2)(x + 1) = 0$

$x = 2, -1$

$x$軸との交点は、$x = 2, -1$ です。

$y = x^2 - x - 2$ のグラフは下に凸の放物線なので、$x$軸の下側を通る範囲は $-1 < x < 2$ です。

したがって、面積$S$は次の定積分で求められます。

$S = -\int_{-1}^{2} (x^2 - x - 2) dx$

$S = -\left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - 2x \right]_{-1}^{2}$

$S = -\left[ \left( \frac{8}{3} - \frac{4}{2} - 4 \right) - \left( -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 \right) \right]$

$S = -\left[ \frac{8}{3} - 2 - 4 + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 \right]$

$S = -\left[ \frac{9}{3} - 8 + \frac{1}{2} \right]$

$S = -\left[ 3 - 8 + \frac{1}{2} \right]$

$S = -\left[ -5 + \frac{1}{2} \right] = -\left[ -\frac{9}{2} \right]$

$S = \frac{9}{2}$

(2) $y = -x^2 + 3x$ ($-1 \le x \le 2$), $x = -1$, $x = 2$ の場合

まず、$y = -x^2 + 3x$ と $x$ 軸との交点を求めます。

$-x^2 + 3x = 0$

$x(-x + 3) = 0$

$x = 0, 3$

指定された範囲は、$-1 \le x \le 2$ なので、この範囲で $y = -x^2 + 3x$ が$x$軸の上にあるか下にあるかを調べます。$0 < x < 2$ では $y > 0$ です。 $-1 < x < 0$ では $y < 0$ です。

$x = -1$ から $x = 2$ までの面積を求めるには、積分を分けて計算する必要があります。

$S = \int_{-1}^{0} (-x^2 + 3x) dx + \int_{0}^{2} (-x^2 + 3x) dx$

$S = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 \right]_{-1}^{0} + \left[ -\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 \right]_{0}^{2}$

$S = \left[ 0 - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} \right) \right] + \left[ \left( -\frac{8}{3} + \frac{12}{2} \right) - 0 \right]$

$S = -\left( \frac{2}{6} + \frac{9}{6} \right) + \left( -\frac{8}{3} + 6 \right)$

$S = -\frac{11}{6} + \left( -\frac{8}{3} + \frac{18}{3} \right)$

$S = -\frac{11}{6} + \frac{10}{3}$

$S = -\frac{11}{6} + \frac{20}{6} = \frac{9}{6}$

$S = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{9}{2}$

(2) $\frac{3}{2}$