$x$ が $0$ に近づくとき、関数 $x^2 \sin{\frac{1}{x}}$ の極限が $0$ になることを示す問題です。具体的には、$\lim_{x \to +0} x^2 \sin{\frac{1}{x}}$ と $\lim_{x \to -0} x^2 \sin{\frac{1}{x}}$ がどちらも $0$ になる理由を説明することが求められています。

1. 問題の内容

$x$ が $0$ に近づくとき、関数 $x^2 \sin{\frac{1}{x}}$ の極限が $0$ になることを示す問題です。具体的には、$\lim_{x \to +0} x^2 \sin{\frac{1}{x}}$ と $\lim_{x \to -0} x^2 \sin{\frac{1}{x}}$ がどちらも $0$ になる理由を説明することが求められています。

2. 解き方の手順

$\sin$ 関数の性質を利用します。任意の $x$ に対して、$-1 \leq \sin{\frac{1}{x}} \leq 1$ が成り立ちます。

したがって、

$-x^2 \leq x^2 \sin{\frac{1}{x}} \leq x^2$

となります。

ここで、$x$ が $0$ に近づくとき、$x^2$ も $-x^2$ も $0$ に近づきます。つまり、

$\lim_{x \to 0} x^2 = 0$

$\lim_{x \to 0} -x^2 = 0$

です。

したがって、挟みうちの原理より、$\lim_{x \to 0} x^2 \sin{\frac{1}{x}} = 0$ となります。

$\lim_{x \to +0} x^2 \sin{\frac{1}{x}}$ と $\lim_{x \to -0} x^2 \sin{\frac{1}{x}}$ の場合も同様に考えられます。

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to +0} x^2 \sin{\frac{1}{x}} = 0$

$\lim_{x \to -0} x^2 \sin{\frac{1}{x}} = 0$

どちらの場合も、$-1 \leq \sin{\frac{1}{x}} \leq 1$ であることから、$-x^2 \leq x^2 \sin{\frac{1}{x}} \leq x^2$ となり、挟みうちの原理により極限は $0$ になります。