関数 $f(x)$ が次のように定義されているとき、 $ f(x) = \begin{cases} x^2 \sin\frac{1}{x} & (x \neq 0) \\ 0 & (x=0) \end{cases} $ $x=0$ において微分可能かどうか調べるにはどうすればよいか。特に、左右両側からの微分係数が一致することを確認する方法を問うている。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が次のように定義されているとき、

$f(x) = \begin{cases} x^2 \sin\frac{1}{x} & (x \neq 0) \\ 0 & (x=0) \end{cases}$

$x=0$ において微分可能かどうか調べるにはどうすればよいか。特に、左右両側からの微分係数が一致することを確認する方法を問うている。

2. 解き方の手順

$x=0$ での微分可能性を調べるには、定義に従って微分係数を計算する必要がある。

まず、$f'(0)$ を定義通りに計算する。

$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h}$

$f(0) = 0$ であり、$f(h) = h^2 \sin\frac{1}{h}$ （$h \neq 0$）なので、

$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \sin\frac{1}{h} - 0}{h} = \lim_{h \to 0} h \sin\frac{1}{h}$

ここで、$-1 \leq \sin\frac{1}{h} \leq 1$ なので、$-|h| \leq h \sin\frac{1}{h} \leq |h|$ である。

$\lim_{h \to 0} -|h| = 0$ かつ $\lim_{h \to 0} |h| = 0$ であるから、はさみうちの原理より、

$\lim_{h \to 0} h \sin\frac{1}{h} = 0$

したがって、$f'(0) = 0$ である。

次に、微分係数の定義より、左側極限と右側極限をそれぞれ求める。

左側微分係数：

$\lim_{h \to -0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to -0} h \sin\frac{1}{h} = 0$

右側微分係数：

$\lim_{h \to +0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to +0} h \sin\frac{1}{h} = 0$

左側微分係数と右側微分係数が一致し、0であるから、$x=0$ で微分可能である。

$x \neq 0$ のとき、$f'(x)$ を計算する。

$f'(x) = 2x \sin\frac{1}{x} + x^2 \cos\frac{1}{x} (-\frac{1}{x^2}) = 2x \sin\frac{1}{x} - \cos\frac{1}{x}$

3. 最終的な答え

関数 $f(x)$ は $x=0$ において微分可能であり、$f'(0) = 0$ である。左右の微分係数（極限）を求めることで確認できます。

具体的には、左側からの極限と右側からの極限が両方とも0に等しいことを示すことで、微分可能であることが確認できます。