ある点において関数が微分可能かどうかを調べるとき、左右両側からの微分係数が一致することを調べることと、左右両側からの極限を調べることは同じ意味なのか、という質問です。

1. 問題の内容

ある点において関数が微分可能かどうかを調べるとき、左右両側からの微分係数が一致することを調べることと、左右両側からの極限を調べることは同じ意味なのか、という質問です。

2. 解き方の手順

微分可能性の定義と極限の定義を理解する必要があります。

* 微分可能性：関数 $f(x)$ が点 $x=a$ で微分可能であるとは、極限

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\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

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が存在することです。この極限が存在するためには、右側極限と左側極限が一致する必要があります。すなわち、

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\lim_{h \to +0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \lim_{h \to -0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

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が成り立つ必要があります。これらの極限はそれぞれ右側微分係数、左側微分係数と呼ばれます。

* 極限：関数 $f(x)$ の $x$ が $a$ に近づくときの極限が存在するためには、右側極限と左側極限が一致する必要があります。すなわち、

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\lim_{x \to a+0} f(x) = \lim_{x \to a-0} f(x)

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が成り立つ必要があります。

微分可能性を調べる際には、左右の微分係数の極限を調べる必要があります。

関数が微分可能であるためには、まずその点で連続である必要があります。関数が連続であるためには、その点で極限が存在する必要があります。つまり、左右からの極限が一致している必要があります。

ただし、左右からの極限が一致していても、その点で微分可能であるとは限りません。微分可能性は、左右の微分係数が一致している必要があり、連続性よりも強い条件です。

3. 最終的な答え

いいえ、左右両側からの極限を調べることと、左右両側からの微分係数を調べることは同じではありません。微分可能性を調べるには、左右の微分係数が一致していることを確認する必要があります。極限の一致は連続性の条件であり、微分可能性の必要条件ではありますが、十分条件ではありません。