数列 $\{a_n\}$ が与えられており、初項 $a_1 = 2$、漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 4$ を満たします。この数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられており、初項 $a_1 = 2$、漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 4$ を満たします。この数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 4$ を変形します。特性方程式 $x = 3x + 4$ を解きます。

$x = 3x + 4$

$-2x = 4$

$x = -2$

したがって、漸化式は以下のように変形できます。

$a_{n+1} + 2 = 3(a_n + 2)$

ここで、$b_n = a_n + 2$ とおくと、$b_{n+1} = 3b_n$ となり、数列 $\{b_n\}$ は公比 3 の等比数列であることがわかります。

初項 $b_1 = a_1 + 2 = 2 + 2 = 4$ です。

したがって、$b_n = 4 \cdot 3^{n-1}$ となります。

$a_n = b_n - 2$ なので、

$a_n = 4 \cdot 3^{n-1} - 2$

3. 最終的な答え

$a_n = 4 \cdot 3^{n-1} - 2$