関数 $f(x)$ が以下のように定義されているとき、$x=0$ において微分可能かどうかを調べる際に、どのように連続性を調べれば良いかという問題です。 $ f(x) = \begin{cases} x^2 \sin(\frac{1}{x}) & (x \neq 0) \\ 0 & (x = 0) \end{cases} $

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が以下のように定義されているとき、$x=0$ において微分可能かどうかを調べる際に、どのように連続性を調べれば良いかという問題です。

$$

f(x) =

\begin{cases}

x^2 \sin(\frac{1}{x}) & (x \neq 0) \\

0 & (x = 0)

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が $x=0$ で連続であるかを調べるためには、以下の3つの条件を確認する必要があります。

(1) $f(0)$ が定義されていること。

(2) $\lim_{x \to 0} f(x)$ が存在すること。

(3) $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ であること。

(1) について、$f(0) = 0$ であるため、条件は満たされています。

(2) について、$\lim_{x \to 0} x^2 \sin(\frac{1}{x})$ を計算します。

$-1 \leq \sin(\frac{1}{x}) \leq 1$ であるため、

$-x^2 \leq x^2 \sin(\frac{1}{x}) \leq x^2$ が成り立ちます。

$\lim_{x \to 0} -x^2 = 0$ および $\lim_{x \to 0} x^2 = 0$ であることから、挟みうちの原理より、

$\lim_{x \to 0} x^2 \sin(\frac{1}{x}) = 0$ となります。したがって、$\lim_{x \to 0} f(x)$ は存在し、その値は 0 です。

(3) について、$\lim_{x \to 0} f(x) = 0$ であり、$f(0) = 0$ であるため、$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ が成り立ちます。

したがって、$f(x)$ は $x=0$ で連続です。

3. 最終的な答え

関数 $f(x)$ が $x=0$ で連続であることを示すには、

(1) $f(0)$ が定義されていること

(2) $\lim_{x \to 0} f(x)$ が存在すること

(3) $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ であること

の3つの条件を満たすことを確認します。

この問題の場合、$f(0) = 0$ であり、$\lim_{x \to 0} f(x) = 0$ であるため、$f(x)$ は $x=0$ で連続です。