次の式を因数分解せよ。 (1) $x^2 + 3xy + 2y^2 + 2x + 5y - 3$ (2) $3x^2 - xy - 2y^2 + 6x - y + 3$ 次の式を因数分解せよ。 $a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)$

1. 問題の内容

次の式を因数分解せよ。

(1) $x^2 + 3xy + 2y^2 + 2x + 5y - 3$

(2) $3x^2 - xy - 2y^2 + 6x - y + 3$

次の式を因数分解せよ。

$a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)$

2. 解き方の手順

(1)

$x^2 + 3xy + 2y^2 + 2x + 5y - 3$

を因数分解する。まず、$x$ について整理する。

$x^2 + (3y + 2)x + (2y^2 + 5y - 3)$

次に、$2y^2 + 5y - 3$ を因数分解する。

$2y^2 + 5y - 3 = (2y - 1)(y + 3)$

したがって、

$x^2 + (3y + 2)x + (2y - 1)(y + 3)$

$= \{x + (y + 3)\}\{x + (2y - 1)\}$

$= (x + y + 3)(x + 2y - 1)$

(2)

$3x^2 - xy - 2y^2 + 6x - y + 3$

を因数分解する。まず、$x$ について整理する。

$3x^2 + (-y + 6)x + (-2y^2 - y + 3)$

次に、$-2y^2 - y + 3$ を因数分解する。

$-2y^2 - y + 3 = -(2y^2 + y - 3) = -(2y + 3)(y - 1) = (2y + 3)(1 - y)$

したがって、

$3x^2 + (-y + 6)x + (2y + 3)(1 - y)$

$= (3x + 2y + 3)(x - y + 1)$

$a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)$

を因数分解する。まず、$a$ について整理する。

$a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2) = a(b^2 - c^2) + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2$

$= a(b^2 - c^2) - a^2(b - c) + bc(c - b)$

$= a(b^2 - c^2) - a^2(b - c) - bc(b - c)$

$= a(b - c)(b + c) - a^2(b - c) - bc(b - c)$

$= (b - c)\{a(b + c) - a^2 - bc\}$

$= (b - c)\{ab + ac - a^2 - bc\}$

$= (b - c)\{a(b - a) - c(b - a)\}$

$= (b - c)(b - a)(a - c)$

$= -(a - b)(b - c)(c - a)$

3. 最終的な答え

(1) $(x + y + 3)(x + 2y - 1)$

(2) $(3x + 2y + 3)(x - y + 1)$

$-(a - b)(b - c)(c - a)$