以下の4つの問題があります。 (1) 集合 $A = \{x | 2x^2 - x - 1 > 0\}$、集合 $B = \{x | x^2 + 2x \le 0\}$ が与えられたとき、$A \cap B$ と $A \cup \overline{B}$ を求めよ。 (2) $a, b, c, d, e$ の平均が 62、標準偏差が 23 であるとき、$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2$ を求めよ。 (3) へこみのない多面体について、頂点の数が 8、辺の数が 18 であるとき、面の数を求めよ。 (4) $a_1 = 3, a_{n+1} - a_n = 2(3^n - n)$ ($n \ge 1$) によって定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

1. 問題の内容

以下の4つの問題があります。

(1) 集合 $A = \{x | 2x^2 - x - 1 > 0\}$、集合 $B = \{x | x^2 + 2x \le 0\}$ が与えられたとき、$A \cap B$ と $A \cup \overline{B}$ を求めよ。

(2) $a, b, c, d, e$ の平均が 62、標準偏差が 23 であるとき、$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2$ を求めよ。

(3) へこみのない多面体について、頂点の数が 8、辺の数が 18 であるとき、面の数を求めよ。

(4) $a_1 = 3, a_{n+1} - a_n = 2(3^n - n)$ ($n \ge 1$) によって定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$A$ と $B$ を求めます。

$2x^2 - x - 1 > 0$ を解くと、$(2x + 1)(x - 1) > 0$ より、$x < -\frac{1}{2}$ または $x > 1$。

よって、$A = \{x | x < -\frac{1}{2} \text{ または } x > 1\}$

$x^2 + 2x \le 0$ を解くと、$x(x + 2) \le 0$ より、$-2 \le x \le 0$。

よって、$B = \{x | -2 \le x \le 0\}$

$A \cap B = \{x | -2 \le x < -\frac{1}{2}\}$

$\overline{B} = \{x | x < -2 \text{ または } x > 0\}$

$A \cup \overline{B} = \{x | x < -\frac{1}{2} \text{ または } x > 1\} \cup \{x | x < -2 \text{ または } x > 0\}$

$A \cup \overline{B} = \{x | x < -\frac{1}{2} \text{ または } x > 0\}$

(2)

平均は $\frac{a + b + c + d + e}{5} = 62$ より、$a + b + c + d + e = 5 \times 62 = 310$。

標準偏差は 23 より、分散は $23^2 = 529$。

分散は $\frac{(a - 62)^2 + (b - 62)^2 + (c - 62)^2 + (d - 62)^2 + (e - 62)^2}{5} = 529$

$(a - 62)^2 + (b - 62)^2 + (c - 62)^2 + (d - 62)^2 + (e - 62)^2 = 529 \times 5 = 2645$

$a^2 - 124a + 62^2 + b^2 - 124b + 62^2 + c^2 - 124c + 62^2 + d^2 - 124d + 62^2 + e^2 - 124e + 62^2 = 2645$

$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 - 124(a + b + c + d + e) + 5 \times 62^2 = 2645$

$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 - 124(310) + 5 \times 3844 = 2645$

$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 - 38440 + 19220 = 2645$

$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 = 2645 + 38440 - 19220 = 21865$

(3)

オイラーの多面体定理より、頂点の数 $V$、辺の数 $E$、面の数 $F$ について、$V - E + F = 2$ が成り立つ。

$8 - 18 + F = 2$

$F = 2 + 18 - 8 = 12$

(4)

$a_{n+1} - a_n = 2(3^n - n)$ より、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} 2(3^k - k) = 3 + 2\sum_{k=1}^{n-1} 3^k - 2\sum_{k=1}^{n-1} k$

$= 3 + 2 \cdot \frac{3(3^{n-1} - 1)}{3 - 1} - 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = 3 + 3(3^{n-1} - 1) - (n-1)n = 3 + 3^n - 3 - n^2 + n = 3^n - n^2 + n$

3. 最終的な答え

(1) $A \cap B = \{x | -2 \le x < -\frac{1}{2}\}$, $A \cup \overline{B} = \{x | x < -\frac{1}{2} \text{ または } x > 0\}$

(2) $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 = 21865$

(3) 面の数は 12

(4) $a_n = 3^n - n^2 + n$