以下の4つの問題があります。 (1) 集合 $A = \{x | 2x^2 - x - 1 > 0\}$、集合 $B = \{x | x^2 + 2x \le 0\}$ が与えられたとき、$A \cap B$ と $A \cup \overline{B}$ を求めよ。 (2) $a, b, c, d, e$ の平均が 62、標準偏差が 23 であるとき、$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2$ を求めよ。 (3) へこみのない多面体について、頂点の数が 8、辺の数が 18 であるとき、面の数を求めよ。 (4) $a_1 = 3, a_{n+1} - a_n = 2(3^n - n)$ ($n \ge 1$) によって定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

その他集合統計多面体数列オイラーの定理
2025/4/8

1. 問題の内容

以下の4つの問題があります。
(1) 集合 A={x2x2x1>0}A = \{x | 2x^2 - x - 1 > 0\}、集合 B={xx2+2x0}B = \{x | x^2 + 2x \le 0\} が与えられたとき、ABA \cap BABA \cup \overline{B} を求めよ。
(2) a,b,c,d,ea, b, c, d, e の平均が 62、標準偏差が 23 であるとき、a2+b2+c2+d2+e2a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 を求めよ。
(3) へこみのない多面体について、頂点の数が 8、辺の数が 18 であるとき、面の数を求めよ。
(4) a1=3,an+1an=2(3nn)a_1 = 3, a_{n+1} - a_n = 2(3^n - n) (n1n \ge 1) によって定められる数列 {an}\{a_n\} の一般項を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)
まず、AABB を求めます。
2x2x1>02x^2 - x - 1 > 0 を解くと、(2x+1)(x1)>0(2x + 1)(x - 1) > 0 より、x<12x < -\frac{1}{2} または x>1x > 1
よって、A={xx<12 または x>1}A = \{x | x < -\frac{1}{2} \text{ または } x > 1\}
x2+2x0x^2 + 2x \le 0 を解くと、x(x+2)0x(x + 2) \le 0 より、2x0-2 \le x \le 0
よって、B={x2x0}B = \{x | -2 \le x \le 0\}
AB={x2x<12}A \cap B = \{x | -2 \le x < -\frac{1}{2}\}
B={xx<2 または x>0}\overline{B} = \{x | x < -2 \text{ または } x > 0\}
AB={xx<12 または x>1}{xx<2 または x>0}A \cup \overline{B} = \{x | x < -\frac{1}{2} \text{ または } x > 1\} \cup \{x | x < -2 \text{ または } x > 0\}
AB={xx<12 または x>0}A \cup \overline{B} = \{x | x < -\frac{1}{2} \text{ または } x > 0\}
(2)
平均は a+b+c+d+e5=62\frac{a + b + c + d + e}{5} = 62 より、a+b+c+d+e=5×62=310a + b + c + d + e = 5 \times 62 = 310
標準偏差は 23 より、分散は 232=52923^2 = 529
分散は (a62)2+(b62)2+(c62)2+(d62)2+(e62)25=529\frac{(a - 62)^2 + (b - 62)^2 + (c - 62)^2 + (d - 62)^2 + (e - 62)^2}{5} = 529
(a62)2+(b62)2+(c62)2+(d62)2+(e62)2=529×5=2645(a - 62)^2 + (b - 62)^2 + (c - 62)^2 + (d - 62)^2 + (e - 62)^2 = 529 \times 5 = 2645
a2124a+622+b2124b+622+c2124c+622+d2124d+622+e2124e+622=2645a^2 - 124a + 62^2 + b^2 - 124b + 62^2 + c^2 - 124c + 62^2 + d^2 - 124d + 62^2 + e^2 - 124e + 62^2 = 2645
a2+b2+c2+d2+e2124(a+b+c+d+e)+5×622=2645a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 - 124(a + b + c + d + e) + 5 \times 62^2 = 2645
a2+b2+c2+d2+e2124(310)+5×3844=2645a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 - 124(310) + 5 \times 3844 = 2645
a2+b2+c2+d2+e238440+19220=2645a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 - 38440 + 19220 = 2645
a2+b2+c2+d2+e2=2645+3844019220=21865a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 = 2645 + 38440 - 19220 = 21865
(3)
オイラーの多面体定理より、頂点の数 VV、辺の数 EE、面の数 FF について、VE+F=2V - E + F = 2 が成り立つ。
818+F=28 - 18 + F = 2
F=2+188=12F = 2 + 18 - 8 = 12
(4)
an+1an=2(3nn)a_{n+1} - a_n = 2(3^n - n) より、
an=a1+k=1n1(ak+1ak)=3+k=1n12(3kk)=3+2k=1n13k2k=1n1ka_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} 2(3^k - k) = 3 + 2\sum_{k=1}^{n-1} 3^k - 2\sum_{k=1}^{n-1} k
=3+23(3n11)312(n1)n2=3+3(3n11)(n1)n=3+3n3n2+n=3nn2+n= 3 + 2 \cdot \frac{3(3^{n-1} - 1)}{3 - 1} - 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = 3 + 3(3^{n-1} - 1) - (n-1)n = 3 + 3^n - 3 - n^2 + n = 3^n - n^2 + n

3. 最終的な答え

(1) AB={x2x<12}A \cap B = \{x | -2 \le x < -\frac{1}{2}\}, AB={xx<12 または x>0}A \cup \overline{B} = \{x | x < -\frac{1}{2} \text{ または } x > 0\}
(2) a2+b2+c2+d2+e2=21865a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 = 21865
(3) 面の数は 12
(4) an=3nn2+na_n = 3^n - n^2 + n

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