連立不等式 $\begin{cases} 5x - 2a + 1 > 3x + 7 \\ \frac{2x+3a}{4} > x - 5 \end{cases}$ が解をもつような $a$ の取り得る値の範囲を求める問題です。ただし、連立不等式の解が存在する条件として、$a > -14$ であることが与えられています。

1. 問題の内容

連立不等式

$\begin{cases} 5x - 2a + 1 > 3x + 7 \\ \frac{2x+3a}{4} > x - 5 \end{cases}$

が解をもつような $a$ の取り得る値の範囲を求める問題です。ただし、連立不等式の解が存在する条件として、$a > -14$ であることが与えられています。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの不等式を解きます。

1つ目の不等式：

$5x - 2a + 1 > 3x + 7$

$2x > 2a + 6$

$x > a + 3$

2つ目の不等式：

$\frac{2x+3a}{4} > x - 5$

$2x + 3a > 4x - 20$

$-2x > -3a - 20$

$2x < 3a + 20$

$x < \frac{3a + 20}{2}$

連立不等式が解を持つためには、$a+3 < \frac{3a+20}{2}$ が成り立つ必要があります。

$a + 3 < \frac{3a + 20}{2}$

$2(a + 3) < 3a + 20$

$2a + 6 < 3a + 20$

$-a < 14$

$a > -14$

問題文で、$a > -14$ が与えられています。したがって、連立不等式が解を持つ $a$ の範囲は $a > -14$ です。

3. 最終的な答え

$a > -14$