円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=6$, $BC=3$, $CD=3$, $\angle ABC=120^\circ$であるとき、$AC$, $AD$, 四角形ABCDの面積を求めよ。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=6$, $BC=3$, $CD=3$, $\angle ABC=120^\circ$であるとき、$AC$, $AD$, 四角形ABCDの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $AC$を求める。

$\triangle ABC$において、余弦定理より、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \times AB \times BC \times \cos{\angle ABC}$

$AC^2 = 6^2 + 3^2 - 2 \times 6 \times 3 \times \cos{120^\circ}$

$AC^2 = 36 + 9 - 36 \times (-\frac{1}{2})$

$AC^2 = 45 + 18 = 63$

$AC = \sqrt{63} = 3\sqrt{7}$

(2) $AD$を求める。

四角形ABCDは円に内接するので、$\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

$\triangle ADC$において、余弦定理より、

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \times AD \times CD \times \cos{\angle ADC}$

$63 = AD^2 + 3^2 - 2 \times AD \times 3 \times \cos{60^\circ}$

$63 = AD^2 + 9 - 6 \times AD \times \frac{1}{2}$

$63 = AD^2 + 9 - 3AD$

$AD^2 - 3AD - 54 = 0$

$(AD - 9)(AD + 6) = 0$

$AD > 0$より、$AD = 9$

(3) 四角形ABCDの面積を求める。

四角形ABCDの面積は、$\triangle ABC$の面積と$\triangle ADC$の面積の和である。

$\triangle ABC = \frac{1}{2} \times AB \times BC \times \sin{\angle ABC} = \frac{1}{2} \times 6 \times 3 \times \sin{120^\circ} = \frac{1}{2} \times 18 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2}$

$\triangle ADC = \frac{1}{2} \times AD \times CD \times \sin{\angle ADC} = \frac{1}{2} \times 9 \times 3 \times \sin{60^\circ} = \frac{1}{2} \times 27 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{27\sqrt{3}}{4}$

四角形ABCDの面積 = $\triangle ABC + \triangle ADC = \frac{9\sqrt{3}}{2} + \frac{27\sqrt{3}}{4} = \frac{18\sqrt{3} + 27\sqrt{3}}{4} = \frac{45\sqrt{3}}{4}$

3. 最終的な答え

$AC = 3\sqrt{7}$

$AD = 9$

四角形ABCDの面積 = $\frac{45\sqrt{3}}{4}$