原点を中心とする半径1の円 $C_1$ と半径2の円 $C_2$ がある。$C_1$ と角 $a\theta$ の動径との交点を $P$、$C_2$ と角 $(\frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{3})$ の動径との交点を $Q$ とする。 (1) $\theta = \pi$ のときの $Q$ の座標を求める。 (2) 3点 $O, P, Q$ がこの順に一直線上にあるような最小の $\theta$ の値を求める。また、$\theta$ が $0 \le \theta \le \frac{ウ}{エa+オ}\pi$ の範囲を動くとき、$C_2$ において点 $Q$ の軌跡を弧とする扇形の面積を求める。 (3) 線分 $PQ$ の長さの2乗 $PQ^2$ を求める。 (4) 関数 $f(x) = ケ - コ \sin (\frac{サ a + シ}{ス} x)$ の最小の正の周期が $4\pi$ であるとき、$a$ の値を求める。

1. 問題の内容

原点を中心とする半径1の円 $C_1$ と半径2の円 $C_2$ がある。$C_1$ と角 $a\theta$ の動径との交点を $P$、$C_2$ と角 $(\frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{3})$ の動径との交点を $Q$ とする。

(1) $\theta = \pi$ のときの $Q$ の座標を求める。

(2) 3点 $O, P, Q$ がこの順に一直線上にあるような最小の $\theta$ の値を求める。また、$\theta$ が $0 \le \theta \le \frac{ウ}{エa+オ}\pi$ の範囲を動くとき、$C_2$ において点 $Q$ の軌跡を弧とする扇形の面積を求める。

(3) 線分 $PQ$ の長さの2乗 $PQ^2$ を求める。

(4) 関数 $f(x) = ケ - コ \sin (\frac{サ a + シ}{ス} x)$ の最小の正の周期が $4\pi$ であるとき、$a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\theta = \pi$ のとき、点 $Q$ の動径は $\frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{3} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}$ である。$Q$ は半径2の円 $C_2$ 上にあるので、$Q$ の座標は $(2\cos \frac{\pi}{6}, 2\sin \frac{\pi}{6}) = (2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}, 2 \cdot \frac{1}{2}) = (\sqrt{3}, 1)$。

(2)

3点 $O, P, Q$ が一直線上にあるとき、$a\theta = (\frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{3}) + n\pi$ (n は整数)

$(a + \frac{1}{3})\theta = \frac{\pi}{2} + n\pi = \frac{(2n+1)\pi}{2}$

$\theta = \frac{(2n+1)\pi}{2(a+\frac{1}{3})} = \frac{3(2n+1)\pi}{2(3a+1)}$

最小の $\theta$ は $n = 0$ のときなので、$\theta = \frac{3\pi}{2(3a+1)}$.

$\theta$ が $0 \le \theta \le \frac{3\pi}{2(3a+1)}$ の範囲を動くとき、$Q$ の軌跡を弧とする扇形の中心角は $\frac{1}{3} \theta = \frac{1}{3} \cdot \frac{3\pi}{2(3a+1)} = \frac{\pi}{2(3a+1)}$

扇形の面積は $\frac{1}{2} r^2 \alpha = \frac{1}{2} (2^2) \frac{\pi}{2(3a+1)} = \frac{2\pi}{2(3a+1)} = \frac{\pi}{3a+1}$.

(3)

$P(\cos(a\theta), \sin(a\theta))$, $Q(2\cos(\frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{3}), 2\sin(\frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{3})) = (2\sin(\frac{\theta}{3}), 2\cos(\frac{\theta}{3}))$

$PQ^2 = (\cos(a\theta) - 2\sin(\frac{\theta}{3}))^2 + (\sin(a\theta) - 2\cos(\frac{\theta}{3}))^2 = \cos^2(a\theta) - 4\cos(a\theta)\sin(\frac{\theta}{3}) + 4\sin^2(\frac{\theta}{3}) + \sin^2(a\theta) - 4\sin(a\theta)\cos(\frac{\theta}{3}) + 4\cos^2(\frac{\theta}{3}) = 1 + 4 - 4(\cos(a\theta)\sin(\frac{\theta}{3}) + \sin(a\theta)\cos(\frac{\theta}{3})) = 5 - 4\sin(a\theta + \frac{\theta}{3}) = 5 - 4\sin(\frac{3a+1}{3}\theta)$

(4)

$f(x) = 5 - 4\sin(\frac{3a+1}{3} x)$ の周期は $\frac{2\pi}{\frac{3a+1}{3}} = \frac{6\pi}{3a+1}$ であり、これが $4\pi$ となるので、

$\frac{6\pi}{3a+1} = 4\pi$

$6 = 4(3a+1) = 12a + 4$

$12a = 2$

$a = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.

3. 最終的な答え

(1) $Q$ の座標は $(\sqrt{3}, 1)$

(2) 最小の $\theta$ の値は $\frac{3}{2(3a+1)}\pi$.

$C_2$ における点 $Q$ の軌跡を弧とする扇形の面積は $\frac{1}{3a+1}\pi$.

(3) $PQ^2 = 5 - 4\sin(\frac{3a+1}{3}\theta)$

(4) $a = \frac{1}{6}$