3点 A(-2, 0), B(-2, 8), C(1, -1) を通る円の方程式を求める問題です。一般形 $x^2 + y^2 + 2lx + 2my + n = 0$ に3点の座標を代入し、l, m, n を求めて円の方程式を求めます。

1. 問題の内容

3点 A(-2, 0), B(-2, 8), C(1, -1) を通る円の方程式を求める問題です。一般形 $x^2 + y^2 + 2lx + 2my + n = 0$ に3点の座標を代入し、l, m, n を求めて円の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

まず、円の方程式の一般形 $x^2 + y^2 + 2lx + 2my + n = 0$ に各点の座標を代入します。

* A(-2, 0) を代入: $(-2)^2 + 0^2 + 2l(-2) + 2m(0) + n = 0 \Rightarrow 4 - 4l + n = 0$

* B(-2, 8) を代入: $(-2)^2 + 8^2 + 2l(-2) + 2m(8) + n = 0 \Rightarrow 4 + 64 - 4l + 16m + n = 0 \Rightarrow 68 - 4l + 16m + n = 0$

* C(1, -1) を代入: $1^2 + (-1)^2 + 2l(1) + 2m(-1) + n = 0 \Rightarrow 1 + 1 + 2l - 2m + n = 0 \Rightarrow 2 + 2l - 2m + n = 0$

上記から以下の連立方程式を得ます。

$-4l + n = -4$ --- (1)

$-4l + 16m + n = -68$ --- (2)

$2l - 2m + n = -2$ --- (3)

(1) - (3) より、

$-6l + 2m = -2$

$-3l + m = -1$ --- (4)

(2) - (3) より、

$-6l + 18m = -66$

$-3l + 9m = -33$ --- (5)

(5) - (4) より、

$8m = -32$

$m = -4$

(4)に$m = -4$を代入すると、

$-3l - 4 = -1$

$-3l = 3$

$l = -1$

(1)に$l = -1$を代入すると、

$-4(-1) + n = -4$

$4 + n = -4$

$n = -8$

したがって、$l = -1, m = -4, n = -8$ となります。

円の方程式は $x^2 + y^2 + 2(-1)x + 2(-4)y - 8 = 0$ となり、整理すると $x^2 + y^2 - 2x - 8y - 8 = 0$ となります。

3. 最終的な答え

$x^2 + y^2 - 2x - 8y - 8 = 0$