円 $C: x^2 + y^2 = 5$ と直線 $l: y = 2(x-a) + k$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) $a=1$ のとき、円$C$と直線$l$の関係を答えます。 (i) $k=2-\sqrt{5}$ のとき、原点と直線 $l$ の距離を求めます。 (ii) 円$C$と直線$l$が共有点を持つ$k$の範囲を求めます。 (iii) 領域 $D: x^2 + y^2 \le 5$ と領域 $E: y \le 2(x-1) + k$ に対して、$D \subset E$ となる $k$ の範囲を求めます。

1. 問題の内容

円 $C: x^2 + y^2 = 5$ と直線 $l: y = 2(x-a) + k$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) $a=1$ のとき、円$C$と直線$l$の関係を答えます。

(i) $k=2-\sqrt{5}$ のとき、原点と直線 $l$ の距離を求めます。

(ii) 円$C$と直線$l$が共有点を持つ$k$の範囲を求めます。

(iii) 領域 $D: x^2 + y^2 \le 5$ と領域 $E: y \le 2(x-1) + k$ に対して、$D \subset E$ となる $k$ の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $a=1$のとき、直線 $l$ は $y=2(x-1)+k$ 、すなわち $y=2x-2+k$ となります。この直線は、傾きが2であり、kの値によってy切片が変化します。円の中心 $(0,0)$ からの距離を考えれば、kの値によらず共有点を持つかどうか判断できます。円の中心 $(0,0)$ から直線 $2x-y-2+k=0$ までの距離 $d$ は、

$$d = \frac{|2(0) - (0) - 2 + k|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|k-2|}{\sqrt{5}}$$

$d < \sqrt{5}$ となれば共有点を持ち、$d > \sqrt{5}$ なら共有点を持ちません。$d = \sqrt{5}$ なら接します。

$|k-2| < 5$ より $-3 < k < 7$のとき共有点を持ち、$|k-2| > 5$ より $k < -3$ または $k > 7$ のとき共有点を持ちません。したがって、kの値によって、共有点を持つことも持たないこともあります。

(i) $k=2-\sqrt{5}$ のとき、直線 $l$ は $y=2(x-a)+2-\sqrt{5}$ 、すなわち $2x - y - 2a + 2 - \sqrt{5} = 0$ となります。原点 $(0,0)$ からこの直線までの距離 $d$ は、

$$d = \frac{|2(0) - (0) - 2a + 2 - \sqrt{5}|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|-2a + 2 - \sqrt{5}|}{\sqrt{5}}$$

問題文には$a$の値が指定されていないので、一旦$a=0$として計算します。この時、直線は$2x-y+2-\sqrt{5}=0$となり、

$$d = \frac{|2-\sqrt{5}|}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}} = 1-\frac{2}{\sqrt{5}} = 1-\frac{2\sqrt{5}}{5}$$

$a$が定義されていなければ、この問題は解けません。$a=1$と仮定すると、直線は$2x-y-\sqrt{5}=0$となるので

$$d = \frac{|-\sqrt{5}|}{\sqrt{5}} = 1$$

(ii) 円 $x^2+y^2 = 5$ と直線 $y = 2(x-a)+k$ が共有点を持つ条件は、円の中心 $(0,0)$ から直線までの距離が、円の半径 $\sqrt{5}$ 以下であることです。直線を $2x - y - 2a + k = 0$ と変形すると、

$$\frac{|-2a + k|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} \le \sqrt{5}$$

$$|-2a + k| \le 5$$

$$-5 \le -2a + k \le 5$$

$$2a - 5 \le k \le 2a + 5$$

問題文より、$-3 \le k \le 4$ となるので、$2a-5=-3$ かつ $2a+5=4$ ということになります。しかしこれは両立しません。

問題文が $-3 \le k \le 7$の間違いとすると、$2a-5 = -3$ かつ $2a+5 = 7$より、$a = 1$。

(iii) $D \subset E$ となるためには、円 $x^2 + y^2 = 5$ 上の任意の点 $(x, y)$ が $y \le 2(x-1) + k$ を満たす必要があります。

$y = 2(x-1) + k$ は、$y = 2x - 2 + k$ と変形できます。円上の点 $(x, y)$ が $y \le 2x - 2 + k$ を満たすということは、$2x - y - 2 + k \ge 0$ を満たすということです。

$k \ge -2x + y + 2$ を満たす $k$ の範囲を求めます。

$f(x, y) = -2x + y + 2$ とおきます。円 $x^2 + y^2 = 5$ 上で $f(x, y)$ の最大値を求めます。

コーシー・シュワルツの不等式より、

$(-2x + y)^2 \le ((-2)^2 + 1^2)(x^2 + y^2) = 5 \cdot 5 = 25$

$-5 \le -2x + y \le 5$

$f(x, y) = -2x + y + 2 \le 5 + 2 = 7$

したがって、$k \ge 7$

3. 最終的な答え

(1) ①

(i) 1

(ii) 2a-5, 2a+5

(iii) ⑤, 7