図に示すように、点A, B, C, Dがあり、∠ACD = 105°, ∠CAD = 45°, ∠ABC = 60°, AB = 80m, BC = 50mであるとき、CAの長さとCDの長さを求める問題です。

1. 問題の内容

図に示すように、点A, B, C, Dがあり、∠ACD = 105°, ∠CAD = 45°, ∠ABC = 60°, AB = 80m, BC = 50mであるとき、CAの長さとCDの長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABCに着目し、余弦定理を用いてACの長さを求めます。余弦定理は以下の通りです。

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos{\angle ABC}$

与えられた値を代入すると、

$AC^2 = 80^2 + 50^2 - 2 \cdot 80 \cdot 50 \cdot \cos{60°}$

$AC^2 = 6400 + 2500 - 8000 \cdot \frac{1}{2}$

$AC^2 = 8900 - 4000$

$AC^2 = 4900$

$AC = \sqrt{4900} = 70$

したがって、CAの長さは70mです。

次に、三角形ACDに着目します。∠ACD = 105°, ∠CAD = 45°なので、∠ADC = 180° - (105° + 45°) = 180° - 150° = 30°です。

正弦定理を用いてCDの長さを求めます。正弦定理は以下の通りです。

$\frac{CD}{\sin{\angle CAD}} = \frac{AC}{\sin{\angle ADC}}$

与えられた値を代入すると、

$\frac{CD}{\sin{45°}} = \frac{70}{\sin{30°}}$

$CD = \frac{70 \cdot \sin{45°}}{\sin{30°}}$

$CD = \frac{70 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}$

$CD = 70 \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

CA = 70 m

CD = $70\sqrt{2}$ m