三角形 ABC において、$AB = 80$, $BC = 50$, $\angle ABC = 60^\circ$ である。 また、三角形 ACD において、$\angle ACD = 105^\circ$, $\angle CAD = 45^\circ$ である。 線分 CA および CD の長さを求める。

1. 問題の内容

三角形 ABC において、$AB = 80$, $BC = 50$, $\angle ABC = 60^\circ$ である。

また、三角形 ACD において、$\angle ACD = 105^\circ$, $\angle CAD = 45^\circ$ である。

線分 CA および CD の長さを求める。

2. 解き方の手順

まず、三角形 ABC に対して余弦定理を適用し、$AC^2$ を求める。

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC$

$AC^2 = 80^2 + 50^2 - 2 \cdot 80 \cdot 50 \cdot \cos 60^\circ$

$AC^2 = 6400 + 2500 - 8000 \cdot \frac{1}{2}$

$AC^2 = 8900 - 4000 = 4900$

$AC = \sqrt{4900} = 70$

次に、三角形 ACD において正弦定理を適用する。

$\angle ADC = 180^\circ - (105^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$

$\frac{AC}{\sin \angle ADC} = \frac{CD}{\sin \angle CAD}$

$\frac{70}{\sin 30^\circ} = \frac{CD}{\sin 45^\circ}$

$CD = \frac{70 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 30^\circ}$

$CD = \frac{70 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}$

$CD = 70 \sqrt{2}$

$CD \approx 70 \cdot 1.414 = 98.98$

3. 最終的な答え

$CA = 70$ m

$CD = 70\sqrt{2}$ m