長方形ABCDの内部に互いに外接する2つの円C1, C2があり、C1はAB, BCに、C2はCD, DAにそれぞれ接しています。C1, C2の中心をそれぞれO1, O2、半径をそれぞれr1, r2とします。O1を通りABに平行な直線と、O2を通りBCに平行な直線の交点をEとします。ただし、AB = 9, O1O2 = 5とします。 (1) O1E, ADの長さを求めよ。 (2) C1, C2の面積の和をSとするとき、Sをr1で表せ。 (3) r1のとりうる値の範囲を求めよ。 (4) Sの最大値、最小値を求めよ。

はい、承知いたしました。数学の問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

長方形ABCDの内部に互いに外接する2つの円C1, C2があり、C1はAB, BCに、C2はCD, DAにそれぞれ接しています。C1, C2の中心をそれぞれO1, O2、半径をそれぞれr1, r2とします。O1を通りABに平行な直線と、O2を通りBCに平行な直線の交点をEとします。ただし、AB = 9, O1O2 = 5とします。

(1) O1E, ADの長さを求めよ。

(2) C1, C2の面積の和をSとするとき、Sをr1で表せ。

(3) r1のとりうる値の範囲を求めよ。

(4) Sの最大値、最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) O1E, ADの長さを求める。

O1からBCへ、O2からCDへそれぞれ垂線を下ろし、交点をそれぞれF, Gとすると、O1E = FC = AB - AF = 9 - r2となります。また、O2E = GD = AD - AG = AD - r1です。O1O2 = 5より、O1O2を斜辺とする直角三角形O1EO2を考えると、ピタゴラスの定理より、

$O_1E^2 + O_2E^2 = O_1O_2^2$

$(9 - r_2)^2 + (AD - r_1)^2 = 5^2$

また、AD = r1 + r2なので、AD - r1 = r2

$(9 - r_2)^2 + r_2^2 = 25$

$81 - 18r_2 + r_2^2 + r_2^2 = 25$

$2r_2^2 - 18r_2 + 56 = 0$

$r_2^2 - 9r_2 + 28 = 0$

これを解くと、$r_2 = \frac{9 \pm \sqrt{81-112}}{2}$となり、解が存在しない。これは、図が不正確であるか、あるいは問題設定に矛盾があることを示唆します。O1O2の長さが変わることで解が得られる可能性があるため、一旦保留とします。

しかし、AD = r1 + r2であることは確定しているので、この値を一旦求めておきましょう。

(2) C1, C2の面積の和Sをr1で表す。

C1の面積は$πr_1^2$, C2の面積は$πr_2^2$なので、面積の和Sは、

$S = πr_1^2 + πr_2^2 = π(r_1^2 + r_2^2)$

ここで、$r_2 = AD - r_1$なので、

$S = π(r_1^2 + (AD - r_1)^2) = π(r_1^2 + AD^2 - 2ADr_1 + r_1^2) = π(2r_1^2 - 2ADr_1 + AD^2)$

(3) r1のとりうる値の範囲を求める。

r1とr2はともに正であり、AD = r1 + r2であるから、r1 < AD かつ r2 < AD。また、r1とr2は円の半径であるから正の値を取る必要があります。また、円C1は長方形ABCDの内部にあるので、r1<9かつr2<9である必要があります。

(4) Sの最大値、最小値を求める。

$S = π(2r_1^2 - 2ADr_1 + AD^2)$

Sはr1の二次関数であり、r1について平方完成すると、

$S = 2π(r_1 - \frac{AD}{2})^2 + \frac{πAD^2}{2}$

Sはr1 = AD/2の時に最小値を取る。最大値は、r1が取りうる範囲の端のどちらかになります。

ADが求められないため、ここから先の計算ができません。

3. 最終的な答え

(1) O1E, ADの長さを求める。

O1O2=5の条件が満たされないため、ADは求まりません。

(2) C1, C2の面積の和Sをr1で表す。

$S = π(2r_1^2 - 2ADr_1 + AD^2)$

(3) r1のとりうる値の範囲を求める。

r1<9かつr2<9

(4) Sの最大値、最小値を求める。

ADの値が求まらないため、Sの最大値、最小値は計算できません。