$x^2 - y^2 + x - y = 10$ を満たす自然数 $x, y$ の組を求める問題です。

1. 問題の内容

$x^2 - y^2 + x - y = 10$ を満たす自然数 $x, y$ の組を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 - y^2$ を因数分解します。

$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$

与えられた式は、

$(x+y)(x-y) + x - y = 10$

となります。

次に、$x-y$ でくくると、

$(x-y)(x+y+1) = 10$

$x, y$ は自然数なので、$x+y+1$ は自然数です。また、$x+y+1 > 0$ です。

したがって、$x-y$ も自然数である必要があります。

10を自然数の積に分解すると、

$10 = 1 \times 10 = 2 \times 5 = 5 \times 2 = 10 \times 1$

の4通りが考えられます。

(1) $x-y = 1$ かつ $x+y+1 = 10$ のとき

$x-y = 1$ より $x = y+1$

これを $x+y+1 = 10$ に代入すると、

$(y+1) + y + 1 = 10$

$2y + 2 = 10$

$2y = 8$

$y = 4$

$x = y+1 = 4+1 = 5$

よって、$(x, y) = (5, 4)$

(2) $x-y = 2$ かつ $x+y+1 = 5$ のとき

$x-y = 2$ より $x = y+2$

これを $x+y+1 = 5$ に代入すると、

$(y+2) + y + 1 = 5$

$2y + 3 = 5$

$2y = 2$

$y = 1$

$x = y+2 = 1+2 = 3$

よって、$(x, y) = (3, 1)$

(3) $x-y = 5$ かつ $x+y+1 = 2$ のとき

$x+y+1 = 2$ より $x+y = 1$

$x, y$ は自然数なので、 $x+y \geq 2$ となり、矛盾。したがって、この場合は解なし。

(4) $x-y = 10$ かつ $x+y+1 = 1$ のとき

$x+y+1 = 1$ より $x+y = 0$

$x, y$ は自然数なので、$x+y \geq 2$ となり、矛盾。したがって、この場合は解なし。

以上より、条件を満たす自然数 $x, y$ の組は $(5, 4)$ と $(3, 1)$ です。

3. 最終的な答え

$(x, y) = (5, 4), (3, 1)$