数列が与えられており、第n群はn個の分数を含んでいます。 (1) 初めて $\frac{1}{9}$ となるのが何項目か答える問題。 (2) 150項目にある分数を答える問題。

1. 問題の内容

数列が与えられており、第n群はn個の分数を含んでいます。

(1) 初めて $\frac{1}{9}$ となるのが何項目か答える問題。

(2) 150項目にある分数を答える問題。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{9}$ が現れる場所を探す。数列は、$\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{3}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{4}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \frac{5}{5}, \dots$ と続きます。

$\frac{1}{9}$ は第9群の最初の数なので、第8群までの項数を計算する。

第n群にはn個の項があるので、第8群までの項数は $1+2+3+4+5+6+7+8 = \frac{8(8+1)}{2} = \frac{8 \times 9}{2} = 36$

$\frac{1}{9}$は第9群の1番目の項なので、合計で $36+1 = 37$ 項目である。

(2) 150項目がどの群にあるかを考える。第n群までの項数は $\frac{n(n+1)}{2}$ である。

$\frac{n(n+1)}{2} \le 150$ を満たす最大のnを探す。

$n(n+1) \le 300$

$n=17$ のとき $17 \times 18 = 306 > 300$

$n=16$ のとき $16 \times 17 = 272 < 300$

したがって、150項目は第17群にある。

第16群までの項数は $\frac{16 \times 17}{2} = 8 \times 17 = 136$

150項目は第17群の $150 - 136 = 14$ 番目の項である。

第17群は $\frac{1}{17}, \frac{2}{17}, \frac{3}{17}, \dots, \frac{17}{17}$ と並んでいるので、第14番目の項は $\frac{14}{17}$ である。

3. 最終的な答え

(1) 37

(2) $\frac{14}{17}$