(1) $0 \le M \le 99$ を満たす整数 $M$ のうち、$M(M-1)$ が $25$ で割り切れるものを全て求める。 (2) $100 \le N \le 199$ を満たす整数 $N$ のうち、$N^2$ と $N$ の下2桁が一致するものを全て求める。

1. 問題の内容

(1) $0 \le M \le 99$ を満たす整数 $M$ のうち、$M(M-1)$ が $25$ で割り切れるものを全て求める。

(2) $100 \le N \le 199$ を満たす整数 $N$ のうち、$N^2$ と $N$ の下2桁が一致するものを全て求める。

2. 解き方の手順

(1) $M(M-1)$ が $25$ で割り切れるということは、$M(M-1) = 25k$ （$k$ は整数）と表せる。

$M$ と $M-1$ は互いに素なので、$M$ または $M-1$ のどちらかが $25$ の倍数であるか、もしくは $M$ か $M-1$ のどちらかが $5$ の倍数である必要がある。

i) $M$ が $25$ の倍数のとき、$M = 0, 25, 50, 75$

ii) $M-1$ が $25$ の倍数のとき、$M = 1, 26, 51, 76$

$M(M-1)$ が $25$ で割り切れる他の場合を探す。$M$と$M-1$のどちらかが$5$の倍数になる場合を考える。

$M = 5n$とおくと、$5n(5n-1)$ が$25$で割り切れるためには、$n$が$5$の倍数であれば良い。

$M = 25k$と同様の結果が得られる。

$M-1=5n$とおくと、$(5n+1)(5n)$ が$25$で割り切れるためには、$n$が$5$の倍数であれば良い。

$M-1 = 25k$と同様の結果が得られる。

よって、$M = 0, 1, 25, 26, 50, 51, 75, 76$.

(2) $N^2$ と $N$ の下2桁が一致するということは、$N^2 \equiv N \pmod{100}$ が成り立つということである。

$N^2 - N \equiv 0 \pmod{100}$

$N(N-1) \equiv 0 \pmod{100}$

$N(N-1)$ が $100$ の倍数であるから、$N(N-1) = 100k$ ($k$は整数)と表せる。

$100 = 4 \times 25$ なので、$N(N-1)$ は $4$ の倍数かつ $25$ の倍数である必要がある。

$N$ と $N-1$ は互いに素なので、次のいずれかの組み合わせになる。

i) $N$ が $100$ の倍数

ii) $N-1$ が $100$ の倍数

iii) $N$ が $4$ の倍数かつ $N-1$ が $25$ の倍数

iv) $N$ が $25$ の倍数かつ $N-1$ が $4$ の倍数

$100 \le N \le 199$ の範囲で考える。

i) $N$ が $100$ の倍数のとき、$N=100$ 。このとき、$N(N-1) = 100(99) = 9900$ なので条件を満たす。

ii) $N-1$ が $100$ の倍数のとき、$N=101$ 。このとき、$N(N-1) = 101(100) = 10100$ なので条件を満たす。

iii) $N$ が $4$ の倍数かつ $N-1$ が $25$ の倍数のとき、$N-1=25k$ より $N=25k+1$ 。

これが $4$ の倍数なので、$25k+1 \equiv 0 \pmod{4}$。つまり、$k+1 \equiv 0 \pmod{4}$ なので、$k \equiv -1 \equiv 3 \pmod{4}$。

$k=3,7$ などが考えられる。

$k=3$ のとき $N = 25(3)+1 = 76$。これは範囲外。

$k=7$ のとき $N = 25(7)+1 = 176$ 。$N(N-1) = 176(175) = 30800$ なので条件を満たす。

iv) $N$ が $25$ の倍数かつ $N-1$ が $4$ の倍数のとき、$N = 25k$。

$N-1=25k-1$ が $4$ の倍数なので、$25k-1 \equiv 0 \pmod{4}$。つまり、$k-1 \equiv 0 \pmod{4}$ なので、$k \equiv 1 \pmod{4}$。

$k=1,5$ などが考えられる。

$k=1$ のとき $N = 25(1) = 25$。これは範囲外。

$k=5$ のとき $N = 25(5) = 125$ 。$N(N-1) = 125(124) = 15500$ なので条件を満たす。

したがって、$N=100, 101, 125, 176$.

3. 最終的な答え

(1) $M = 0, 1, 25, 26, 50, 51, 75, 76$

(2) $N = 100, 101, 125, 176$