与えられた式 $(3x-y)^2 - (3x+y)^2$ を展開し、簡略化せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(3x-y)^2 - (3x+y)^2$ を展開し、簡略化せよ。

2. 解き方の手順

与えられた式は $A^2 - B^2$ の形をしているので、因数分解の公式 $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$ を利用する。ここで、$A = 3x - y$、 $B = 3x + y$ である。

すると、

$(3x-y)^2 - (3x+y)^2 = ((3x-y) - (3x+y))((3x-y) + (3x+y))$

となる。

次に、それぞれの括弧内を計算する。

$(3x-y) - (3x+y) = 3x - y - 3x - y = -2y$

$(3x-y) + (3x+y) = 3x - y + 3x + y = 6x$

したがって、

$(3x-y)^2 - (3x+y)^2 = (-2y)(6x) = -12xy$

または、二乗を展開してから計算することもできる。

$(3x-y)^2 = (3x)^2 - 2(3x)(y) + y^2 = 9x^2 - 6xy + y^2$

$(3x+y)^2 = (3x)^2 + 2(3x)(y) + y^2 = 9x^2 + 6xy + y^2$

したがって、

$(3x-y)^2 - (3x+y)^2 = (9x^2 - 6xy + y^2) - (9x^2 + 6xy + y^2) = 9x^2 - 6xy + y^2 - 9x^2 - 6xy - y^2 = -12xy$

3. 最終的な答え

$-12xy$