関数 $y=(x-1)^2+3$ の $0 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y=(x-1)^2+3$ の $0 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $y=(x-1)^2+3$ は、頂点が $(1,3)$ の下に凸な放物線である。

定義域 $0 \le x \le 3$ における関数の振る舞いを調べる。

頂点の $x$ 座標である $x=1$ は定義域に含まれている。

$x=1$ のとき、$y = (1-1)^2+3 = 3$ となり、これが最小値の候補となる。

次に、定義域の端点における関数の値を計算する。

$x=0$ のとき、$y = (0-1)^2+3 = 1+3 = 4$。

$x=3$ のとき、$y = (3-1)^2+3 = 4+3 = 7$。

したがって、

最小値は、$x=1$ のとき $y=3$。

最大値は、$x=3$ のとき $y=7$。

3. 最終的な答え

最大値: 7 ($x=3$ のとき)

最小値: 3 ($x=1$ のとき)