二次関数 $y = -x^2 + 4x - 5$ のグラフが、頂点(2, -1)で上に凸の放物線であるとき、不等式 $-x^2 + 4x - 5 > 0$ を満たす $x$ の範囲を「すべての実数」または「なし」から選択する問題です。

1. 問題の内容

二次関数 $y = -x^2 + 4x - 5$ のグラフが、頂点(2, -1)で上に凸の放物線であるとき、不等式 $-x^2 + 4x - 5 > 0$ を満たす $x$ の範囲を「すべての実数」または「なし」から選択する問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式 $-x^2 + 4x - 5 > 0$ を変形します。両辺に -1 をかけると、不等号の向きが変わるので、

$x^2 - 4x + 5 < 0$

となります。

次に、左辺の二次式を平方完成します。

$x^2 - 4x + 5 = (x^2 - 4x + 4) + 1 = (x - 2)^2 + 1$

したがって、不等式は

$(x - 2)^2 + 1 < 0$

となります。

$(x - 2)^2$ は常に0以上の値をとるので、$(x - 2)^2 + 1$ は常に1以上の値をとります。つまり、任意の $x$ に対して $(x - 2)^2 + 1 \ge 1$ です。

したがって、$(x - 2)^2 + 1 < 0$ を満たす $x$ は存在しません。

3. 最終的な答え

なし