$a > 0$とする。2次関数$y = ax^2 - 4ax + 2$ $(1 \leq x \leq 5)$について、 (1) この関数の最大値が$7$のとき、定数$a$の値を求める。 (2) この関数の最小値が$-6$のとき、定数$a$の値を求める。

1. 問題の内容

$a > 0$とする。2次関数$y = ax^2 - 4ax + 2$ $(1 \leq x \leq 5)$について、

(1) この関数の最大値が$7$のとき、定数$a$の値を求める。

(2) この関数の最小値が$-6$のとき、定数$a$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = ax^2 - 4ax + 2 = a(x^2 - 4x) + 2 = a(x^2 - 4x + 4 - 4) + 2 = a(x-2)^2 - 4a + 2$

よって、この関数の軸は$x = 2$である。

(1) 最大値が$7$のとき

$a > 0$なので、この関数は下に凸である。定義域は$1 \leq x \leq 5$であり、軸$x = 2$が含まれる。

軸$x=2$から最も離れた点$x=5$で最大値を取る。

$x = 5$のとき、$y = a(5)^2 - 4a(5) + 2 = 25a - 20a + 2 = 5a + 2$

これが$7$に等しいので、

$5a + 2 = 7$

$5a = 5$

$a = 1$

(2) 最小値が$-6$のとき

軸$x = 2$が定義域に含まれるので、頂点で最小値を取る。

頂点の$y$座標は$-4a + 2$である。

これが$-6$に等しいので、

$-4a + 2 = -6$

$-4a = -8$

$a = 2$

3. 最終的な答え

(1) $a = 1$

(2) $a = 2$