$\tan \theta = -\frac{2}{3}$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求める問題です。ただし、$90^\circ < \theta \le 180^\circ$ の範囲で考えます。

1. 問題の内容

$\tan \theta = -\frac{2}{3}$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求める問題です。ただし、$90^\circ < \theta \le 180^\circ$ の範囲で考えます。

2. 解き方の手順

まず、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ であることを思い出します。

また、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ の関係式を利用します。

$\tan \theta = -\frac{2}{3}$ より、$\sin \theta = -\frac{2}{3} \cos \theta$ となります。

これを $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ に代入すると、

$(-\frac{2}{3} \cos \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1$

$\frac{4}{9} \cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$\frac{13}{9} \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = \frac{9}{13}$

したがって、$\cos \theta = \pm \frac{3}{\sqrt{13}} = \pm \frac{3\sqrt{13}}{13}$ となります。

ここで、$90^\circ < \theta \le 180^\circ$ であるから、$\cos \theta < 0$ なので、

$\cos \theta = -\frac{3\sqrt{13}}{13}$ です。

次に、$\sin \theta = -\frac{2}{3} \cos \theta$ に $\cos \theta = -\frac{3\sqrt{13}}{13}$ を代入すると、

$\sin \theta = -\frac{2}{3} \times (-\frac{3\sqrt{13}}{13}) = \frac{2\sqrt{13}}{13}$ となります。

$90^\circ < \theta \le 180^\circ$ において、$\sin \theta > 0$ であるため、これは正しいです。

3. 最終的な答え

$\sin \theta = \frac{2\sqrt{13}}{13}$

$\cos \theta = -\frac{3\sqrt{13}}{13}$