座標平面において、y軸と直線 $y = \frac{3}{4}x$ のなす角を2等分する直線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

座標平面において、y軸と直線 $y = \frac{3}{4}x$ のなす角を2等分する直線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

y軸と直線 $y = \frac{3}{4}x$ のなす角を $2\theta$ とします。このとき、$\tan(2\theta) = \frac{3}{4}$ となります。

求める直線は、y軸となす角が $\theta$ である2つの直線です。

$\tan(\theta)$ を $t$ とすると、2倍角の公式より、

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\tan(2\theta) = \frac{2\tan(\theta)}{1 - \tan^2(\theta)} = \frac{2t}{1-t^2}

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したがって、

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\frac{2t}{1-t^2} = \frac{3}{4}

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これを解くと、

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8t = 3 - 3t^2

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3t^2 + 8t - 3 = 0

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(3t - 1)(t + 3) = 0

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よって、$t = \frac{1}{3}, -3$ となります。

求める直線は、y軸となす角が$\theta$である直線なので、傾きは $\tan(\theta)$ です。

したがって、求める直線の方程式は $y = \frac{1}{3}x$ と $y = -3x$ です。

しかし、問題文ではy軸と直線 $y = \frac{3}{4}x$ のなす角を2等分する直線を求めています。

y軸となす角ではなく、x軸となす角で考えます。

直線 $y = \frac{3}{4}x$ の傾きは$\frac{3}{4}$なので、x軸となす角を$\alpha$とすると$\tan(\alpha) = \frac{3}{4}$。

$\alpha$を2等分する角を$\theta$とすると、$\tan(2\theta) = \frac{3}{4}$。

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\frac{2t}{1-t^2} = \frac{3}{4}

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3t^2 + 8t - 3 = 0

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(3t - 1)(t + 3) = 0

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$t = \frac{1}{3}, -3$。

y軸となす角を2等分するのは、$x = 0$。$y = \frac{3}{4}x$。

$\tan \alpha = \frac{3}{4}$のとき、$\tan (90 - \alpha) = \frac{4}{3}$。

求める直線は$y = mx$として、

$\frac{\frac{4}{3} - m}{1 + \frac{4}{3}m} = \frac{m - 0}{1 + 0m}$

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\frac{4}{3} - m = m + \frac{4}{3}m^2

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4 - 3m = 3m + 4m^2

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4m^2 + 6m - 4 = 0

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2m^2 + 3m - 2 = 0

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(2m - 1)(m + 2) = 0

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$m = \frac{1}{2}, -2$

よって$y = \frac{1}{2}x$, $y = -2x$

求める直線は、$y = \frac{1}{2}x$, $y = -2x$

3. 最終的な答え

直線の方程式は $y = \frac{1}{2}x$ と $y = -2x$ である。