三角形ABCにおいて、$\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 105^\circ$, $a = 6$である。辺cの長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 105^\circ$, $a = 6$である。辺cの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角形の内角の和は180°であるから、$\angle C$ を求める。

$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 30^\circ - 105^\circ = 45^\circ$

次に、正弦定理を用いる。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$

この式に与えられた値を代入して、$c$ を求める。

$\frac{6}{\sin 30^\circ} = \frac{c}{\sin 45^\circ}$

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$であり、$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$であるから、

$\frac{6}{\frac{1}{2}} = \frac{c}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

$12 = \frac{2c}{\sqrt{2}}$

$c = 6\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$c = 6\sqrt{2}$