三角形ABCが円に内接しており、角A = $45^\circ$, 角B = $105^\circ$, 辺a = 6（辺BCの長さ）が与えられている。この円の直径を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCが円に内接しており、角A = $45^\circ$, 角B = $105^\circ$, 辺a = 6（辺BCの長さ）が与えられている。この円の直径を求める。

2. 解き方の手順

まず、三角形の内角の和は$180^\circ$であるから、角Cの大きさを求める。

$C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 45^\circ - 105^\circ = 30^\circ$

次に、正弦定理を用いて、外接円の半径Rを求める。正弦定理とは、三角形ABCにおいて、$a/\sin A = b/\sin B = c/\sin C = 2R$ というものである。

この問題では、$a = 6$、A = $45^\circ$、C = $30^\circ$がわかっているので、$a/\sin A = 2R$を使って計算できる。

$2R = \frac{a}{\sin A}$

$2R = \frac{6}{\sin 45^\circ}$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$なので、

$2R = \frac{6}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 6 \times \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$

したがって、外接円の直径は$6\sqrt{2}$である。

3. 最終的な答え

$6\sqrt{2}$