媒介変数 $\theta$ を用いて $x = -3\sin2\theta + 1$、 $y = 5\cos2\theta + 3$ と表されるとき、導関数 $\frac{dy}{dx}$ を $\theta$ の関数として表す問題です。ただし、$\cos2\theta \neq 0$とします。穴埋め形式になっています。

1. 問題の内容

媒介変数 $\theta$ を用いて $x = -3\sin2\theta + 1$、 $y = 5\cos2\theta + 3$ と表されるとき、導関数 $\frac{dy}{dx}$ を $\theta$ の関数として表す問題です。ただし、$\cos2\theta \neq 0$とします。穴埋め形式になっています。

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ を $\theta$ で微分します。

$\frac{dx}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(-3\sin2\theta + 1) = -3(2\cos2\theta) = -6\cos2\theta$

$\frac{dy}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(5\cos2\theta + 3) = 5(-2\sin2\theta) = -10\sin2\theta$

次に、$\frac{dy}{dx}$ を計算します。これは $\frac{dy}{d\theta} / \frac{dx}{d\theta}$ で計算できます。

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}} = \frac{-10\sin2\theta}{-6\cos2\theta} = \frac{5}{3} \tan2\theta$

与えられた形式に合わせて負の符号を外に出すと、

$\frac{dy}{dx} = - \frac{-5}{3} \tan2\theta = - \frac{-5/3}{1} \tan2\theta$

よって, 答えは $\frac{5}{3} \tan 2\theta$ となります。

$\frac{dx}{d\theta} = -6 \cos 2\theta$ から 1 に入る数字は -6 です。

$\frac{dy}{d\theta} = -10 \sin 2\theta$ から 2 と 3 に入る数字はそれぞれ 1 と 0 です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{5}{3} \tan 2\theta$ から 4 と 5 に入る数字はそれぞれ 5 と 3 です。

3. 最終的な答え

1: -6

2: 1

3: 0

4: 5

5: 3