xの関数yが媒介変数$\theta$を用いて $x = -3\sin(2\theta) + 1$ $y = 5\cos(2\theta) + 3$ と表されるとき、導関数$\frac{dy}{dx}$を$\theta$の関数として表す問題です。ただし、$ \cos(2\theta) \neq 0$とします。 $\frac{dx}{d\theta}$, $\frac{dy}{d\theta}$, $\frac{dy}{dx}$を計算し、空欄を埋めます。

1. 問題の内容

xの関数yが媒介変数$\theta$を用いて

$x = -3\sin(2\theta) + 1$

$y = 5\cos(2\theta) + 3$

と表されるとき、導関数$\frac{dy}{dx}$を$\theta$の関数として表す問題です。ただし、$\cos(2\theta) \neq 0$とします。 $\frac{dx}{d\theta}$, $\frac{dy}{d\theta}$, $\frac{dy}{dx}$を計算し、空欄を埋めます。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{dx}{d\theta}$を計算します。

$x = -3\sin(2\theta) + 1$なので、

$\frac{dx}{d\theta} = -3\cos(2\theta) \cdot 2 = -6\cos(2\theta)$

したがって、空欄1は-6です。

次に、$\frac{dy}{d\theta}$を計算します。

$y = 5\cos(2\theta) + 3$なので、

$\frac{dy}{d\theta} = 5(-\sin(2\theta)) \cdot 2 = -10\sin(2\theta)$

したがって、空欄2と3はそれぞれ1と0です。（-10と記入）

最後に、$\frac{dy}{dx}$を計算します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{-10\sin(2\theta)}{-6\cos(2\theta)} = \frac{10}{6} \tan(2\theta) = \frac{5}{3} \tan(2\theta)$

したがって、空欄4は5、空欄5は3です。

3. 最終的な答え

$\frac{dx}{d\theta} = -6\cos(2\theta)$

$\frac{dy}{d\theta} = -10\sin(2\theta)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{5}{3} \tan(2\theta)$

空欄1：-6

空欄2：10

空欄3：なし

空欄4：5

空欄5：3