$x$ と $y$ が媒介変数 $\theta$ を用いて以下のように表されるとき、$\frac{dy}{dx}$ を $\theta$ の関数として表せ。ただし、$\cos{2\theta} \neq 0$ とする。 $x = -3\sin{2\theta} + 1$ $y = 5\cos{2\theta} + 3$

1. 問題の内容

$x$ と $y$ が媒介変数 $\theta$ を用いて以下のように表されるとき、$\frac{dy}{dx}$ を $\theta$ の関数として表せ。ただし、$\cos{2\theta} \neq 0$ とする。

$x = -3\sin{2\theta} + 1$

$y = 5\cos{2\theta} + 3$

2. 解き方の手順

$\frac{dy}{dx}$ を求めるために、まず $\frac{dx}{d\theta}$ と $\frac{dy}{d\theta}$ を計算します。

$\frac{dx}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(-3\sin{2\theta} + 1) = -3(2\cos{2\theta}) = -6\cos{2\theta}$

$\frac{dy}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(5\cos{2\theta} + 3) = 5(-2\sin{2\theta}) = -10\sin{2\theta}$

次に、$\frac{dy}{dx}$ を計算します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}} = \frac{-10\sin{2\theta}}{-6\cos{2\theta}} = \frac{5\sin{2\theta}}{3\cos{2\theta}}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{5}{3}\tan{2\theta}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{5}{3}\tan{2\theta}$