(1) $n$ を0以上の整数とし、$x>0$ とする。このとき、不等式 $e^x > 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}$ が成り立つことを示せ。 (2) $n$ を正の整数とする。$\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x}$ と $\lim_{x \to +0} x (\log x)^n$ を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $n$ を0以上の整数とし、$x>0$ とする。このとき、不等式 $e^x > 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}$ が成り立つことを示せ。

(2) $n$ を正の整数とする。$\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x}$ と $\lim_{x \to +0} x (\log x)^n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 数学的帰納法で示す。

- $n=0$ のとき: $e^x > 1$。これは $x>0$ より明らかに成り立つ。

- $n=k$ のとき、$e^x > 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^k}{k!}$ が成り立つと仮定する。

このとき、$n=k+1$ のとき、$e^x > 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^k}{k!} + \frac{x^{k+1}}{(k+1)!}$ が成り立つことを示す。

$f(x) = e^x - (1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^k}{k!} + \frac{x^{k+1}}{(k+1)!})$ とおく。

$f'(x) = e^x - (1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^k}{k!})$

帰納法の仮定より、$f'(x) > 0$。

$f(0) = e^0 - (1 + 0 + \cdots + 0) = 1 - 1 = 0$

したがって、$x>0$ で $f(x) > 0$。

よって、$e^x > 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^{k+1}}{(k+1)!}$ が成り立つ。

したがって、数学的帰納法により、$n$ が0以上の任意の整数に対して不等式が成り立つ。

(2)

- $\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x}$: これは $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形なので、ロピタルの定理を繰り返し使う。

$n$ 回ロピタルの定理を適用すると、

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{n x^{n-1}}{e^x} = \cdots = \lim_{x \to \infty} \frac{n!}{e^x} = 0$

- $\lim_{x \to +0} x (\log x)^n$: $t = -\log x$ と置くと、$x = e^{-t}$ であり、$x \to +0$ のとき $t \to \infty$ となる。

$\lim_{x \to +0} x (\log x)^n = \lim_{t \to \infty} e^{-t} (-t)^n = (-1)^n \lim_{t \to \infty} \frac{t^n}{e^t}$

ここで、$\lim_{t \to \infty} \frac{t^n}{e^t} = 0$ であるから、

$\lim_{x \to +0} x (\log x)^n = 0$

3. 最終的な答え

(1) $e^x > 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}$ は成り立つ。

(2)

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0$

$\lim_{x \to +0} x (\log x)^n = 0$