関数 $f(x)$ が $f(x) = e^x - (1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^k}{k!} + \frac{x^{k+1}}{(k+1)!})$ で定義されているとき、なぜ $f'(x) = e^x - (1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^k}{k!})$ となるのかを説明する問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が $f(x) = e^x - (1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^k}{k!} + \frac{x^{k+1}}{(k+1)!})$ で定義されているとき、なぜ $f'(x) = e^x - (1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^k}{k!})$ となるのかを説明する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を微分します。

$f(x) = e^x - (1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^k}{k!} + \frac{x^{k+1}}{(k+1)!})$

微分すると、

$f'(x) = \frac{d}{dx} \left[ e^x - \left( 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^k}{k!} + \frac{x^{k+1}}{(k+1)!} \right) \right]$

$e^x$ の微分は $e^x$ です。

$f'(x) = e^x - \left( 0 + \frac{1}{1!} + \frac{2x}{2!} + \cdots + \frac{kx^{k-1}}{k!} + \frac{(k+1)x^k}{(k+1)!} \right)$

$f'(x) = e^x - \left( 1 + \frac{x}{1!} + \cdots + \frac{x^{k-1}}{(k-1)!} + \frac{x^k}{k!} \right)$

$f'(x) = e^x - \left( 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^k}{k!} \right)$

3. 最終的な答え

$f(x) = e^x - (1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^k}{k!} + \frac{x^{k+1}}{(k+1)!})$ のとき、$f'(x) = e^x - (1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^k}{k!})$ となる。