$1 \le x \le 8$ のとき、関数 $y = -(\log_2 x)^3 + 3(\log_2 x)^2$ のとりうる値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$1 \le x \le 8$ のとき、関数 $y = -(\log_2 x)^3 + 3(\log_2 x)^2$ のとりうる値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$t = \log_2 x$ とおく。$1 \le x \le 8$ より、$\log_2 1 \le \log_2 x \le \log_2 8$ となる。

したがって、$0 \le t \le 3$ である。

$y$ を $t$ で表すと、

$$y = -t^3 + 3t^2$$

となる。この関数の $0 \le t \le 3$ における最大値と最小値を求める。

$y$ を $t$ で微分すると、

$$y' = -3t^2 + 6t = -3t(t-2)$$

$y' = 0$ となるのは $t = 0, 2$ のときである。

$0 \le t \le 3$ における $y$ の増減表は以下のようになる。

| t | 0 | ... | 2 | ... | 3 |

|----|---|-----|---|-----|---|

| y' | | + | 0 | - | |

| y | 0 | ↑ | 4 | ↓ | 0 |

したがって、$t = 2$ のとき最大値 $y = -2^3 + 3(2^2) = -8 + 12 = 4$ をとり、$t = 0$ または $t = 3$ のとき最小値 $y = 0$ をとる。

3. 最終的な答え

したがって、$y$ のとりうる値の範囲は $0 \le y \le 4$ である。