$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$のとき、$\sin \theta = \frac{2}{5}$が与えられている。このとき、$\cos \theta$と$\tan \theta$の値を求める。

1. 問題の内容

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$のとき、$\sin \theta = \frac{2}{5}$が与えられている。このとき、$\cos \theta$と$\tan \theta$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の基本的な関係式$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$を利用して、$\cos \theta$を求める。

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - \left(\frac{2}{5}\right)^2 = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25}$

$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{21}{25}} = \pm \frac{\sqrt{21}}{5}$

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$なので、$\theta$は第1象限または第2象限の角である。

第1象限では$\cos \theta > 0$、第2象限では$\cos \theta < 0$である。

したがって、$\cos \theta = \pm \frac{\sqrt{21}}{5}$となる。

次に、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$を用いて、$\tan \theta$を求める。

$\tan \theta = \frac{\frac{2}{5}}{\pm \frac{\sqrt{21}}{5}} = \pm \frac{2}{\sqrt{21}}$

有理化すると $\tan \theta = \pm \frac{2 \sqrt{21}}{21}$ となるが、選択肢にないため、有理化しないままにしておく。

$\theta$が第1象限にあるとき、$\cos \theta = \frac{\sqrt{21}}{5}$、$\tan \theta = \frac{2}{\sqrt{21}}$。

$\theta$が第2象限にあるとき、$\cos \theta = - \frac{\sqrt{21}}{5}$、$\tan \theta = - \frac{2}{\sqrt{21}}$。

まとめると、

$\cos \theta = \frac{\sqrt{21}}{5}, -\frac{\sqrt{21}}{5}$

$\tan \theta = \frac{2}{\sqrt{21}}, -\frac{2}{\sqrt{21}}$

3. 最終的な答え

$\cos \theta = \frac{\sqrt{21}}{5}, -\frac{\sqrt{21}}{5}$

$\tan \theta = \frac{2}{\sqrt{21}}, -\frac{2}{\sqrt{21}}$