2点 A(-1, 5), B(7, -3) を結ぶ線分 AB について、以下の点の座標を求めます。 (1) 線分 AB を 3:1 に内分する点 P (2) 線分 AB の中点 M (3) 線分 AB を 1:2 に外分する点 Q

1. 問題の内容

2点 A(-1, 5), B(7, -3) を結ぶ線分 AB について、以下の点の座標を求めます。

(1) 線分 AB を 3:1 に内分する点 P

(2) 線分 AB の中点 M

(3) 線分 AB を 1:2 に外分する点 Q

2. 解き方の手順

(1) 線分 AB を 3:1 に内分する点 P の座標を求めます。内分点の公式は、点 A($x_1$, $y_1$) と点 B($x_2$, $y_2$) を $m:n$ に内分する点 P の座標が ($\frac{n x_1 + m x_2}{m+n}$, $\frac{n y_1 + m y_2}{m+n}$) で表されることを利用します。

この問題では、$x_1 = -1$, $y_1 = 5$, $x_2 = 7$, $y_2 = -3$, $m = 3$, $n = 1$ です。

P の x 座標 = $\frac{1 * (-1) + 3 * 7}{3+1} = \frac{-1 + 21}{4} = \frac{20}{4} = 5$

P の y 座標 = $\frac{1 * 5 + 3 * (-3)}{3+1} = \frac{5 - 9}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

よって、点 P の座標は (5, -1) です。

(2) 線分 AB の中点 M の座標を求めます。中点は、線分を 1:1 に内分する点なので、内分点の公式で $m = 1$, $n = 1$ とすると、中点 M の座標は ($\frac{x_1 + x_2}{2}$, $\frac{y_1 + y_2}{2}$) で表されます。

M の x 座標 = $\frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$

M の y 座標 = $\frac{5 + (-3)}{2} = \frac{2}{2} = 1$

よって、点 M の座標は (3, 1) です。

(3) 線分 AB を 1:2 に外分する点 Q の座標を求めます。外分点の公式は、点 A($x_1$, $y_1$) と点 B($x_2$, $y_2$) を $m:n$ に外分する点 Q の座標が ($\frac{-n x_1 + m x_2}{m-n}$, $\frac{-n y_1 + m y_2}{m-n}$) で表されることを利用します。

この問題では、$x_1 = -1$, $y_1 = 5$, $x_2 = 7$, $y_2 = -3$, $m = 1$, $n = 2$ です。

Q の x 座標 = $\frac{-2 * (-1) + 1 * 7}{1-2} = \frac{2 + 7}{-1} = \frac{9}{-1} = -9$

Q の y 座標 = $\frac{-2 * 5 + 1 * (-3)}{1-2} = \frac{-10 - 3}{-1} = \frac{-13}{-1} = 13$

よって、点 Q の座標は (-9, 13) です。

3. 最終的な答え

(1) 点 P の座標: (5, -1)

(2) 点 M の座標: (3, 1)

(3) 点 Q の座標: (-9, 13)