複素数を極形式で表した$\cos\frac{4}{3}\pi - i\sin\frac{4}{3}\pi$を計算し、簡略化された形で表現せよ。

1. 問題の内容

複素数を極形式で表した$\cos\frac{4}{3}\pi - i\sin\frac{4}{3}\pi$を計算し、簡略化された形で表現せよ。

2. 解き方の手順

与えられた複素数は$\cos\frac{4}{3}\pi - i\sin\frac{4}{3}\pi$です。これは、複素数$z = \cos\theta + i\sin\theta$の共役複素数$\bar{z} = \cos\theta - i\sin\theta$の形をしています。

$\cos\theta - i\sin\theta = \cos(-\theta) + i\sin(-\theta)$

の関係を利用すると、与えられた複素数は次のように書き換えられます。

$\cos\frac{4}{3}\pi - i\sin\frac{4}{3}\pi = \cos(-\frac{4}{3}\pi) + i\sin(-\frac{4}{3}\pi)$

$-\frac{4}{3}\pi$は$-\frac{4}{3}\pi + 2\pi = \frac{2}{3}\pi$と等価なので、

$\cos(-\frac{4}{3}\pi) + i\sin(-\frac{4}{3}\pi) = \cos(\frac{2}{3}\pi) + i\sin(\frac{2}{3}\pi)$

$\cos(\frac{2}{3}\pi) = -\frac{1}{2}$

$\sin(\frac{2}{3}\pi) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、

$\cos(\frac{2}{3}\pi) + i\sin(\frac{2}{3}\pi) = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$