放物線 $y = x^2 - 4x + 3$ と $x$ 軸で囲まれる図形の面積を求めます。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 4x + 3$ と $x$ 軸で囲まれる図形の面積を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$x$軸との交点を求めます。

$y = x^2 - 4x + 3 = 0$ を解きます。

これは因数分解できて、 $(x-1)(x-3) = 0$ なので、 $x = 1$ と $x = 3$ が交点となります。

次に、$x$軸と放物線で囲まれた部分の面積を定積分を使って計算します。

放物線は $x=1$ から $x=3$ の範囲で $x$軸より下にありますから、定積分の値は負になります。

面積を求めるために、定積分の絶対値を計算します。

$$\int_{1}^{3} (x^2 - 4x + 3) \, dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x \right]_{1}^{3}$$

$$\int_{1}^{3} (x^2 - 4x + 3) \, dx = \left( \frac{1}{3}(3)^3 - 2(3)^2 + 3(3) \right) - \left( \frac{1}{3}(1)^3 - 2(1)^2 + 3(1) \right)$$

$$\int_{1}^{3} (x^2 - 4x + 3) \, dx = \left( 9 - 18 + 9 \right) - \left( \frac{1}{3} - 2 + 3 \right)$$

$$\int_{1}^{3} (x^2 - 4x + 3) \, dx = 0 - \left( \frac{1}{3} + 1 \right)$$

$$\int_{1}^{3} (x^2 - 4x + 3) \, dx = -\frac{4}{3}$$

求める面積は、この定積分の絶対値なので、 $\left| -\frac{4}{3} \right| = \frac{4}{3}$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{4}{3}$