放物線 $y = -x^2 + x - 4$ と放物線 $y = x^2 - 5x$ で囲まれる図形の面積を求めます。

1. 問題の内容

放物線 $y = -x^2 + x - 4$ と放物線 $y = x^2 - 5x$ で囲まれる図形の面積を求めます。

2. 解き方の手順

2つの放物線の交点を求め、積分を使って面積を計算します。

ステップ1: 交点を求める。

2つの放物線の方程式を連立させます。

$-x^2 + x - 4 = x^2 - 5x$

$2x^2 - 6x + 4 = 0$

$x^2 - 3x + 2 = 0$

$(x - 1)(x - 2) = 0$

$x = 1, 2$

よって、交点のx座標は $x=1$ と $x=2$ です。

ステップ2: 積分範囲を確認する。

積分範囲は $x=1$ から $x=2$ です。

ステップ3: どちらの関数が大きいか確認する。

$1 < x < 2$ において、例えば $x = 1.5$ で比較します。

$y_1 = -(1.5)^2 + 1.5 - 4 = -2.25 + 1.5 - 4 = -4.75$

$y_2 = (1.5)^2 - 5(1.5) = 2.25 - 7.5 = -5.25$

$y_1 > y_2$ なので、$-x^2 + x - 4$ が $x^2 - 5x$ より上にあることが分かります。

ステップ4: 面積を計算する。

面積 $S$ は、2つの関数の差を積分することで求められます。

$S = \int_{1}^{2} [(-x^2 + x - 4) - (x^2 - 5x)] dx$

$S = \int_{1}^{2} (-2x^2 + 6x - 4) dx$

ステップ5: 積分を実行する。

$S = \left[ -\frac{2}{3}x^3 + 3x^2 - 4x \right]_{1}^{2}$

$S = \left( -\frac{2}{3}(2)^3 + 3(2)^2 - 4(2) \right) - \left( -\frac{2}{3}(1)^3 + 3(1)^2 - 4(1) \right)$

$S = \left( -\frac{16}{3} + 12 - 8 \right) - \left( -\frac{2}{3} + 3 - 4 \right)$

$S = \left( -\frac{16}{3} + 4 \right) - \left( -\frac{2}{3} - 1 \right)$

$S = \left( -\frac{16}{3} + \frac{12}{3} \right) - \left( -\frac{2}{3} - \frac{3}{3} \right)$

$S = -\frac{4}{3} - \left( -\frac{5}{3} \right)$

$S = -\frac{4}{3} + \frac{5}{3}$

$S = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}$