正四角錐の容器に70 cm³ の水を入れて密閉する。図1のように水平な台に置いた後、辺ADを台につけたままゆっくり傾け、図2のように水面が三角形になったところで止める。辺ABと水面の交点をEとしたとき、線分AEの長さを求める。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

正四角錐の容器に70 cm³ の水を入れて密閉する。図1のように水平な台に置いた後、辺ADを台につけたままゆっくり傾け、図2のように水面が三角形になったところで止める。辺ABと水面の交点をEとしたとき、線分AEの長さを求める。

2. 解き方の手順

図1の状態では、水は正四角錐台の形をしている。図2の状態では、水は三角錐の形をしていない部分（O-BCD)を満たしている。図1と図2で水の体積は変わらないことを利用する。

まず、正四角錐の底面の一辺の長さを $a$ 、高さを $h$ とする。図1における水面の高さを $x$ とする。水の体積は70 cm³なので、

$V_{四角錐} - V_{三角錐} = 70$

図2の状態について考える。水面が三角形になっていることから、三角形OBCが水面と一致している。したがって、三角錐O-ABCとO-BCDの体積は等しい。

水が入っていない部分の体積は三角錐O-ABCの体積に等しく、水の体積は三角錐O-BCDの体積に等しい。

$V_{水} = V_{O-BCD} = \frac{1}{2}V_{四角錐}$

したがって、正四角錐の体積は、$V_{四角錐} = 2V_{水} = 2 \times 70 = 140 cm^3$

次に、図1の状態に戻る。水の体積は70 cm³なので、

$V_{四角錐} - V_{三角錐} = 70$

$140 - V_{三角錐} = 70$

$V_{三角錐} = 70 cm^3$

ここで、相似比を考える。正四角錐と水面より上の三角錐は相似である。

体積比は相似比の3乗に等しいので、

$\frac{V_{三角錐}}{V_{四角錐}} = (\frac{x}{h})^3 = \frac{70}{140} = \frac{1}{2}$

$(\frac{x}{h})^3 = \frac{1}{2}$

$\frac{x}{h} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

したがって、$x = \frac{h}{\sqrt[3]{2}}$

図2において、点Eは辺ABの中点である。これは、三角形OABにおいて、OEが中線であるから。よって、AE=AB/2。

ここで、$AB=a$なので、$AE = \frac{a}{2}$

四角錐の体積は$V = \frac{1}{3} a^2 h$

$140 = \frac{1}{3} a^2 h$

$a^2 h = 420$

この問題ではAEの長さを求めるためにaを求める必要があるが、情報が不足しているため、aの値を一意に定めることができない。したがって、AEの長さも一意に定めることはできない。

ただし、問題文の条件を満たすAEを求めることを考えると、図２において、水面は△OBCとなる。したがって、EはABの中点となる。

よって、$AE = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2}a$

問題の条件から、AEの長さが具体的に求まらない。しかし、図2においてEがABの中点にあることは確かなので、

$AE=\frac{a}{2}$

3. 最終的な答え

AE = $\frac{a}{2}$

(aの値は問題文の条件だけでは一意に決定できない)

最終的な答えとして、AE = 5 cm となる場合を考えます。

もし、$AE = 5$ cm なら、$a=10$ cm。

$a^2 h = 420$ なので、$100h=420$, $h = 4.2$ cm.

これらの値は、問題文の条件を満たす可能性のある一例です。

しかし、これ以上の情報がないため、$AE = \frac{a}{2}$と答えるのが最も適切です。

追加の情報がない場合、AEの具体的な数値を求めることはできません。したがって、AE = a/2 が最も正確な答えとなります。