与えられた漸化式で定義される数列$\{a_n\}$の一般項を求める問題です。具体的には、以下の3つの数列の一般項を求める必要があります。 (1) $a_1 = 2$, $a_{n+1} = 2a_n + 3$ (2) $a_1 = 2$, $a_{n+1} = \frac{3}{4}a_n + \frac{n}{2}$ (3) $a_1 = -1$, $a_{n+1} = 2a_n - 3^n$

1. 問題の内容

与えられた漸化式で定義される数列$\{a_n\}$の一般項を求める問題です。具体的には、以下の3つの数列の一般項を求める必要があります。

(1) $a_1 = 2$, $a_{n+1} = 2a_n + 3$

(2) $a_1 = 2$, $a_{n+1} = \frac{3}{4}a_n + \frac{n}{2}$

(3) $a_1 = -1$, $a_{n+1} = 2a_n - 3^n$

2. 解き方の手順

(1) $a_{n+1} = 2a_n + 3$の一般項を求める。

まず、漸化式を$a_{n+1} + \alpha = 2(a_n + \alpha)$の形に変形することを試みる。

$a_{n+1} = 2a_n + 3$より、$\alpha = 2\alpha + 3$を満たす$\alpha$を求める。

$\alpha = -3$

したがって、$a_{n+1} - 3 = 2(a_n - 3)$となる。

$b_n = a_n - 3$とおくと、$b_{n+1} = 2b_n$となり、数列$\{b_n\}$は公比2の等比数列となる。

$b_1 = a_1 - 3 = 2 - 3 = -1$

よって、$b_n = (-1) \cdot 2^{n-1} = -2^{n-1}$

$a_n = b_n + 3 = -2^{n-1} + 3 = 3 - 2^{n-1}$

(2) $a_{n+1} = \frac{3}{4}a_n + \frac{n}{2}$の一般項を求める。

$a_{n+1} = \frac{3}{4}a_n + \frac{n}{2}$に$4^{n+1}$をかけると、

$4^{n+1} a_{n+1} = 3 \cdot 4^n a_n + 2n \cdot 4^n$

$b_n = 4^n a_n$とおくと、$b_{n+1} = 3b_n + 2n \cdot 4^n$

$b_{n+1} - 3b_n = 2n \cdot 4^n$

この漸化式を解くのは難しいので、画像にある穴埋めの形を仮定して定数を求める。

$a_n = A(\frac{3}{4})^{n-1} + Bn + C$ とおく。

$a_1 = A + B + C = 2$

$a_{n+1} = A(\frac{3}{4})^n + B(n+1) + C = \frac{3}{4} [A(\frac{3}{4})^{n-1} + Bn + C] + \frac{n}{2}$

$= A(\frac{3}{4})^n + \frac{3}{4}Bn + \frac{3}{4}C + \frac{n}{2}$

$B(n+1) + C = \frac{3}{4}Bn + \frac{3}{4}C + \frac{n}{2}$

$Bn + B + C = (\frac{3}{4}B + \frac{1}{2})n + \frac{3}{4}C$

$B = \frac{3}{4}B + \frac{1}{2}$ より、$\frac{1}{4}B = \frac{1}{2}$、したがって、$B = 2$

$B + C = \frac{3}{4}C$ より、$2 + C = \frac{3}{4}C$、したがって、$-\frac{1}{4}C = -2$、$C = 8$

$A + B + C = A + 2 + 8 = 2$ より、$A = -8$

したがって、$a_n = -8(\frac{3}{4})^{n-1} + 2n + 8$

(3) $a_{n+1} = 2a_n - 3^n$の一般項を求める。

$a_{n+1} = 2a_n - 3^n$に$3^{n+1}$をかけると、

$a_{n+1} / 3^{n+1} = 2/3 \cdot a_n / 3^n - 1/3$

$b_n = a_n / 3^n$とおくと、$b_{n+1} = 2/3 b_n - 1/3$

$b_{n+1} - \alpha = 2/3 (b_n - \alpha)$

$\alpha = 2/3 \alpha - 1/3$ より、$1/3 \alpha = -1/3$、$alpha = -1$

$b_{n+1} + 1 = 2/3 (b_n + 1)$

$c_n = b_n + 1$とおくと、$c_{n+1} = 2/3 c_n$

$c_1 = b_1 + 1 = a_1 / 3^1 + 1 = -1/3 + 1 = 2/3$

$c_n = (2/3) (2/3)^{n-1} = (2/3)^n$

$b_n = c_n - 1 = (2/3)^n - 1$

$a_n = 3^n b_n = 3^n [(2/3)^n - 1] = 2^n - 3^n$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 3 - 2^{n-1}$

(2) $a_n = -8 (\frac{3}{4})^{n-1} + 2n + 8$

(3) $a_n = 2^n - 3^n$