数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 2$, $a_{n+1} = 2a_n + 3$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$ で定義されるとき、一般項 $a_n$ を求めよ。ただし、解答の形式は $a_n = \boxed{1} \cdot \boxed{2}^{n-1} - \boxed{3}$ である。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 2$, $a_{n+1} = 2a_n + 3$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$ で定義されるとき、一般項 $a_n$ を求めよ。ただし、解答の形式は $a_n = \boxed{1} \cdot \boxed{2}^{n-1} - \boxed{3}$ である。

2. 解き方の手順

まず、漸化式 $a_{n+1} = 2a_n + 3$ を変形する。

$a_{n+1} + \alpha = 2(a_n + \alpha)$ となる $\alpha$ を求める。

$a_{n+1} = 2a_n + \alpha$ なので、$\alpha = 3$ である。

したがって、$a_{n+1} + 3 = 2(a_n + 3)$ と変形できる。

$b_n = a_n + 3$ とおくと、$b_{n+1} = 2b_n$ となり、数列 $\{b_n\}$ は公比 2 の等比数列である。

$b_1 = a_1 + 3 = 2 + 3 = 5$ である。

したがって、$b_n = 5 \cdot 2^{n-1}$ である。

$a_n = b_n - 3$ であるから、$a_n = 5 \cdot 2^{n-1} - 3$ となる。

3. 最終的な答え

$a_n = 5 \cdot 2^{n-1} - 3$