放物線 $y = x^2 - 2$ と放物線 $y = -x^2 + 2x + 2$ で囲まれる図形の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 2$ と放物線 $y = -x^2 + 2x + 2$ で囲まれる図形の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、2つの放物線の交点を求めます。

$x^2 - 2 = -x^2 + 2x + 2$ を解きます。

$2x^2 - 2x - 4 = 0$

$x^2 - x - 2 = 0$

$(x - 2)(x + 1) = 0$

したがって、交点のx座標は $x = -1, 2$ です。

次に、区間 $[-1, 2]$ でどちらの関数が大きいかを調べます。$x = 0$ のとき、$y = x^2 - 2$ は $y = -2$ で、$y = -x^2 + 2x + 2$ は $y = 2$ なので、$y = -x^2 + 2x + 2$ の方が大きいです。

したがって、求める面積は積分で計算できます。

$S = \int_{-1}^{2} ((-x^2 + 2x + 2) - (x^2 - 2)) dx$

$S = \int_{-1}^{2} (-2x^2 + 2x + 4) dx$

$S = [-\frac{2}{3}x^3 + x^2 + 4x]_{-1}^{2}$

$S = (-\frac{2}{3}(2)^3 + (2)^2 + 4(2)) - (-\frac{2}{3}(-1)^3 + (-1)^2 + 4(-1))$

$S = (-\frac{16}{3} + 4 + 8) - (\frac{2}{3} + 1 - 4)$

$S = (-\frac{16}{3} + 12) - (\frac{2}{3} - 3)$

$S = -\frac{16}{3} + 12 - \frac{2}{3} + 3$

$S = -\frac{18}{3} + 15$

$S = -6 + 15$

$S = 9$

3. 最終的な答え

9