放物線 $y = 2x^2 + x$ と放物線 $y = -x^2 - 5x + 9$ で囲まれる図形の面積を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = 2x^2 + x$ と放物線 $y = -x^2 - 5x + 9$ で囲まれる図形の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、2つの放物線の交点の $x$ 座標を求める。

$2x^2 + x = -x^2 - 5x + 9$

$3x^2 + 6x - 9 = 0$

$x^2 + 2x - 3 = 0$

$(x+3)(x-1) = 0$

よって、$x = -3, 1$。

$x$ が $-3$ から $1$ の範囲において、$y = -x^2 - 5x + 9$ が $y = 2x^2 + x$ より上にある。

したがって、求める面積 $S$ は、

$S = \int_{-3}^{1} ((-x^2 - 5x + 9) - (2x^2 + x)) dx$

$S = \int_{-3}^{1} (-3x^2 - 6x + 9) dx$

$S = [-x^3 - 3x^2 + 9x]_{-3}^{1}$

$S = (-(1)^3 - 3(1)^2 + 9(1)) - (-(-3)^3 - 3(-3)^2 + 9(-3))$

$S = (-1 - 3 + 9) - (27 - 27 - 27)$

$S = (5) - (-27)$

$S = 5 + 27$

$S = 32$

3. 最終的な答え

32