放物線 $y = x^2 + x - 2$ と $x$ 軸で囲まれる図形の面積を求めます。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 + x - 2$ と $x$ 軸で囲まれる図形の面積を求めます。

2. 解き方の手順

まず、放物線 $y = x^2 + x - 2$ と $x$ 軸との交点を求めます。

$x$ 軸との交点では $y = 0$ なので、$x^2 + x - 2 = 0$ を解きます。

これは因数分解できて、$(x + 2)(x - 1) = 0$ となります。

したがって、$x = -2$ と $x = 1$ が交点の $x$ 座標です。

次に、積分を使って面積を求めます。放物線が $x$ 軸の下側にある区間では、積分値は負になるので、絶対値を取る必要があります。今回は $-2 \le x \le 1$ の範囲で放物線は $x$ 軸の下側にあるので、積分の範囲は $-2$ から $1$ となります。

求める面積 $S$ は、

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S = \left| \int_{-2}^{1} (x^2 + x - 2) dx \right|

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積分を実行します。

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\int_{-2}^{1} (x^2 + x - 2) dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 2x \right]_{-2}^{1}

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= \left( \frac{1}{3}(1)^3 + \frac{1}{2}(1)^2 - 2(1) \right) - \left( \frac{1}{3}(-2)^3 + \frac{1}{2}(-2)^2 - 2(-2) \right)

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= \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 \right) - \left( \frac{-8}{3} + \frac{4}{2} + 4 \right)

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= \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 + \frac{8}{3} - 2 - 4

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= \frac{9}{3} + \frac{1}{2} - 8 = 3 + \frac{1}{2} - 8 = -5 + \frac{1}{2} = -\frac{9}{2}

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面積は負の値にならないので、絶対値を取ります。

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S = \left| -\frac{9}{2} \right| = \frac{9}{2}

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3. 最終的な答え

求める面積は $\frac{9}{2}$ です。