曲線 $y = x^3$ と放物線 $y = x^2$ で囲まれる図形の面積を求めます。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^3$ と放物線 $y = x^2$ で囲まれる図形の面積を求めます。

2. 解き方の手順

まず、2つの曲線 $y = x^3$ と $y = x^2$ の交点を求めます。

$x^3 = x^2$ を解くと、

$x^3 - x^2 = 0$

$x^2(x - 1) = 0$

したがって、$x = 0, 1$ です。

$x = 0$ のとき $y = 0^3 = 0^2 = 0$ であり、$x = 1$ のとき $y = 1^3 = 1^2 = 1$ です。

よって、交点は $(0, 0)$ と $(1, 1)$ です。

次に、区間 $[0, 1]$ でどちらの関数が大きいかを確認します。

$0 < x < 1$ のとき、$x^2 > x^3$ が成り立ちます。

したがって、求める面積は、定積分

$\int_0^1 (x^2 - x^3) dx$

で計算できます。

$\int_0^1 (x^2 - x^3) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = \left( \frac{1^3}{3} - \frac{1^4}{4} \right) - \left( \frac{0^3}{3} - \frac{0^4}{4} \right) = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4 - 3}{12} = \frac{1}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{12}$