数列$\{a_n\}$が、$a_1=2$ および漸化式 $a_{n+1} = \frac{3}{4}a_n + \frac{n}{2}$ で定義されるとき、一般項 $a_n$ を求め、空欄を埋める問題です。$a_n$ の形は $a_n = \boxed{4} \cdot \left( \frac{\boxed{5}}{\boxed{6}} \right)^{n-1} + \boxed{7}n - \boxed{8}$ と与えられています。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$が、$a_1=2$ および漸化式 $a_{n+1} = \frac{3}{4}a_n + \frac{n}{2}$ で定義されるとき、一般項 $a_n$ を求め、空欄を埋める問題です。$a_n$ の形は $a_n = \boxed{4} \cdot \left( \frac{\boxed{5}}{\boxed{6}} \right)^{n-1} + \boxed{7}n - \boxed{8}$ と与えられています。

2. 解き方の手順

まず、与えられた漸化式を変形します。

$a_{n+1} = \frac{3}{4}a_n + \frac{n}{2}$

特性方程式 $x = \frac{3}{4}x + \frac{n}{2}$ は、この形では解けません。

$a_n = b_n + cn + d$ とおき、$b_n$ についての漸化式を考えます。

$a_{n+1} = b_{n+1} + c(n+1) + d$

$a_{n+1} = \frac{3}{4}a_n + \frac{n}{2}$に代入すると

$b_{n+1} + c(n+1) + d = \frac{3}{4}(b_n + cn + d) + \frac{n}{2}$

$b_{n+1} + cn + c + d = \frac{3}{4}b_n + \frac{3}{4}cn + \frac{3}{4}d + \frac{n}{2}$

$b_{n+1} = \frac{3}{4}b_n + (\frac{3}{4}c + \frac{1}{2} - c)n + (\frac{3}{4}d - c - d)$

$b_{n+1} = \frac{3}{4}b_n + (-\frac{1}{4}c + \frac{1}{2})n + (-\frac{1}{4}d - c)$

$n$の項を消すために、 $-\frac{1}{4}c + \frac{1}{2} = 0$とおくと、$c = 2$

定数項を消すために、 $-\frac{1}{4}d - c = 0$とおくと、 $-\frac{1}{4}d = 2$より、$d = -8$

したがって、$a_n = b_n + 2n - 8$

$a_{n+1} = \frac{3}{4} a_n + \frac{n}{2}$ に $a_n = b_n + 2n - 8$ を代入すると

$b_{n+1} + 2(n+1) - 8 = \frac{3}{4}(b_n + 2n - 8) + \frac{n}{2}$

$b_{n+1} + 2n + 2 - 8 = \frac{3}{4}b_n + \frac{3}{2}n - 6 + \frac{n}{2}$

$b_{n+1} + 2n - 6 = \frac{3}{4}b_n + 2n - 6$

$b_{n+1} = \frac{3}{4}b_n$

これは等比数列なので、$b_n = b_1 (\frac{3}{4})^{n-1}$

$a_1 = b_1 + 2(1) - 8 = b_1 - 6 = 2$ より、$b_1 = 8$

$b_n = 8(\frac{3}{4})^{n-1}$

$a_n = 8 (\frac{3}{4})^{n-1} + 2n - 8 = 4 \cdot 2 (\frac{3}{4})^{n-1} + 2n - 8$

$a_n = 4 \cdot (\frac{3}{4})^{n-1} \cdot 2 + 2n - 8$

$a_n = 4 \cdot (\frac{3}{4})^{n-1} \cdot \frac{2}{1} \frac{5/6}{5/6}$

$a_n = 8\left(\frac{3}{4}\right)^{n-1} + 2n - 8$

したがって、$a_n = 8 (\frac{3}{4})^{n-1} + 2n - 8 = 4 \cdot 2(\frac{3}{4})^{n-1} + 2n - 8$

$2=\frac{8}{4} = \frac{4*2}{4} = \frac{4*8*5}{4*4*6}$

しかし、$a_n = \boxed{4} \cdot \left( \frac{\boxed{5}}{\boxed{6}} \right)^{n-1} + \boxed{2}n - \boxed{8}$ではないので、

$a_n = A (\frac{3}{4})^{n-1} + Bn+C$ として連立方程式をとく。

$a_1 = A + B+C = 2$

$a_2 = a_1 \frac{3}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4} * 2 + \frac{1}{2} = \frac{6+2}{4} = \frac{8}{4}=2$

$\frac{3}{4} A + 2B + C = 2$

$a_3 = a_2 * \frac{3}{4} + \frac{2}{2} = 2*\frac{3}{4}+1 = \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2}$

$(\frac{3}{4})^2 A + 3B+ C = \frac{5}{2}$

よって$A + B+C = 2$

$\frac{3}{4} A + 2B + C = 2$

$\frac{9}{16} A + 3B+ C = \frac{5}{2}$

$A=8$, $B=2$, $C=-8$.

3. 最終的な答え

$a_n = 8(\frac{3}{4})^{n-1} + 2n - 8$