定積分 $\int_{1}^{2} (x-1)(2-x) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{2} (x-1)(2-x) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分の中の式を展開します。

$(x-1)(2-x) = 2x - x^2 - 2 + x = -x^2 + 3x - 2$

次に、積分を計算します。

$\int_{1}^{2} (-x^2 + 3x - 2) dx = \left[-\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 2x\right]_{1}^{2}$

上記の式に積分範囲を代入します。

$\left(-\frac{1}{3}(2)^3 + \frac{3}{2}(2)^2 - 2(2)\right) - \left(-\frac{1}{3}(1)^3 + \frac{3}{2}(1)^2 - 2(1)\right)$

$= \left(-\frac{8}{3} + \frac{12}{2} - 4\right) - \left(-\frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 2\right)$

$= \left(-\frac{8}{3} + 6 - 4\right) - \left(-\frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 2\right)$

$= \left(-\frac{8}{3} + 2\right) - \left(-\frac{2}{6} + \frac{9}{6} - \frac{12}{6}\right)$

$= \left(-\frac{8}{3} + \frac{6}{3}\right) - \left(-\frac{5}{6}\right)$

$= -\frac{2}{3} + \frac{5}{6} = -\frac{4}{6} + \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{6}$