関数 $f(x) = -\int_1^x (t-1)(t-2) dt$ の極値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -\int_1^x (t-1)(t-2) dt$ の極値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ を微分します。微積分学の基本定理を用いると、積分の上端の関数で微分できます。

$f'(x) = -\frac{d}{dx}\int_1^x (t-1)(t-2) dt = -(x-1)(x-2)$

(2) $f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。これは極値の候補となる点です。

$-(x-1)(x-2) = 0$

$x = 1, 2$

(3) $f'(x)$ の符号を調べ、$x = 1, 2$ の前後で符号が変化するかを確認します。

$f'(x) = -(x-1)(x-2) = -(x^2 - 3x + 2) = -x^2 + 3x - 2$

- $x < 1$ のとき、$f'(x) < 0$

- $1 < x < 2$ のとき、$f'(x) > 0$

- $x > 2$ のとき、$f'(x) < 0$

したがって、$x = 1$ で極小値、$x = 2$ で極大値をとります。

(4) 極値を求めます。

$f(1) = -\int_1^1 (t-1)(t-2) dt = 0$

$f(2) = -\int_1^2 (t-1)(t-2) dt = -\int_1^2 (t^2 - 3t + 2) dt = -\left[ \frac{1}{3}t^3 - \frac{3}{2}t^2 + 2t \right]_1^2$

$= -\left( (\frac{8}{3} - 6 + 4) - (\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2) \right) = -\left( \frac{8}{3} - 2 - \frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 2 \right) = -\left( \frac{7}{3} + \frac{3}{2} - 4 \right) = -\left( \frac{14+9-24}{6} \right) = -\left( \frac{-1}{6} \right) = \frac{1}{6}$

3. 最終的な答え

$x=1$ で極小値 $0$

$x=2$ で極大値 $\frac{1}{6}$