複素数 $z$ に関する3次方程式 $z^3 = 8i$ を解く問題です。

1. 問題の内容

複素数 $z$ に関する3次方程式 $z^3 = 8i$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、$8i$を極形式で表します。

$8i$ の絶対値は $8$、偏角は $\frac{\pi}{2}$ ですから、

$$8i = 8 \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right)$$

となります。

$z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ とおくと、ド・モアブルの定理より

$$z^3 = r^3 (\cos 3\theta + i \sin 3\theta)$$

したがって、$z^3 = 8i$ より、

$$r^3 (\cos 3\theta + i \sin 3\theta) = 8 \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right)$$

両辺の絶対値と偏角を比較すると、

$$r^3 = 8, \quad 3\theta = \frac{\pi}{2} + 2n\pi \quad (n=0,1,2)$$

$r$ は正の実数なので、 $r=2$。

また、

$$\theta = \frac{\pi}{6} + \frac{2n\pi}{3} \quad (n=0,1,2)$$

したがって、$n=0,1,2$ に対する $\theta$ の値は

$$\theta = \frac{\pi}{6}, \quad \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} = \frac{5\pi}{6}, \quad \frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{3} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$$

よって、$z$ の解は

$$z = 2 \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right) = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i \right) = \sqrt{3} + i$$

$$z = 2 \left( \cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6} \right) = 2 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i \right) = -\sqrt{3} + i$$

$$z = 2 \left( \cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2} \right) = 2 (0 - i) = -2i$$

3. 最終的な答え

$z = \sqrt{3} + i, -\sqrt{3} + i, -2i$